Esercizio su spazi vettoriali

[kekko989]

Nello spazio $R^3$ consideriamo i vettori $u=((1),(0),(1))$ $v=((1),(2),(0))$ 4 $w=((-1),(1),(2))$. Verificare che sono linearmente indipendenti e risolvere in $a,b,c$ la relazione $au+bv+cw$ di un vettore $x=((x_1),(x_2),(x_3))$ generico.

Ho risolto la prima parte,ovvero ho dimostrato che sono linearmente indipendenti risolvendo il sistemino a tre equazioni con le incognite $a,b,c$. Ora però come devo continuare? $x=x_1((1),(0),(1))+x_2((1),(2),(0))+x_3((-1),(1),(2))$ Questa è la relazione che devo risolvere rispetto a un vettore x generico. Ma come? Grazie!

[miuemia]

vedi che forse manca un uguale a zero nel testo dell'esercizio....

[kekko989]

si,hai ragione. Naturalmente la relazione è $4x_1+2x_2+x_3=0$. Ma il mio problema è la seconda parte,ovvero la rappresentazione nel piano $R^3$

[miuemia]

che vuol dire la rappresentazione del piano $RR^3$??? mica è un piano $RR^3$.

[kekko989]

perchè non è un piano $R^3$?

comunque ho un altro problema,anche se mi sembra più semplice.
Dato $U$ e $V=

[miuemia]

beh perchè $RR^3$ ha dimensione 3 e un piano (a me cosi hanno insegnato) ha dimensione 2.

per l'esercizio allora hai due sottospazi di dimensione 2 in $RR^4$ e allora hai 3 possibilità ho sono identici nel senso che uno e contenuto nell'altro e questo non è il caso oopure sono paralleli cioè non hanno intersezione e questo non è il caso oppure si intersecano (questo è il caso) e la lor intersezione deve essere un sottospazio di dimensione 1 per la formula di grassman.
ora basta che scrivi le eqauzioni cartesiane dei due sottospazi e fai il sistema e trovi che un vettore generico dell'intersezione è un multiplo di $(1,-1,1,1)$.