Esercizio su spazi metrici compatti (non poi così metrici)
Tempo fa avevo visto un esercizio sulle funzioni continue da uno spazio metrico compatto $(X,d)$ (con $X!=\emptyset$), il testo non sono sicuro di ricordarmelo bene, mi sembra che fosse: "Sia $f:X->X$ continua, allora esiste un sottoinsieme $\emptyset!=A\subX$ con la proprietà che $f(A)=A$".
È vera questa cosa? Se si, come si dimostra?
Io ero solamente riuscito a notare che, in un caso particolare $X=[a,b]$, è una cosa nota e addirittura si può prendere un singoletto come $A$, quindi $f$ ha un punto fisso, ma in generale non saprei come fare.
È vera questa cosa? Se si, come si dimostra?
Io ero solamente riuscito a notare che, in un caso particolare $X=[a,b]$, è una cosa nota e addirittura si può prendere un singoletto come $A$, quindi $f$ ha un punto fisso, ma in generale non saprei come fare.
Risposte
Hai dimenticato di dire "non vuoto" 
Non ti serve nessuna metrica, ti basta una topologia T2 compatta; se vuoi AC, usa il lemma di Zorn sull'insieme dei sottoinsiemi di $X$, chiusi e non vuoti, tali che $fA\subseteq A$.
Non ti serve nessuna metrica, ti basta una topologia T2 compatta; se vuoi AC, usa il lemma di Zorn sull'insieme dei sottoinsiemi di $X$, chiusi e non vuoti, tali che $fA\subseteq A$.
Hai ragione, ho provveduto a modificare e grazie per l'hint, non mi sarebbe mai venuto in mente di usare il lemma di (Kuratowski-)Zorn, secondo te c'è anche una soluzione un po' più elementare o questo fatto è proprio equivalente all'assioma della scelta?
Dimmi se va bene come l'ho svolto: considero (grazie al suggerimento) l'insieme $\Omega={\emptyset!=F\subX|F \text{ chiuso},f(F)\subF}$, ora considero l'insieme parzialmente ordinato $(\Omega,<=)$ con il $<=$ definito così; $F_1<=F_2<=>F_2\subF_1$ e voglio applicarci il lemma di Zorn, quindi considero una catena $\Delta\sub\Omega$. Se considero $\bigcap\Delta=\bigcap_{K\in\Delta}K$, si ha che $AAK\in\Delta, K<=\bigcap\Delta<=>\bigcap\Delta\subK$ che è banalmente vero, quindi $\bigcap\Delta$ è minorante della catena in $P(X)$, ora dimostro che $\bigcap\Delta\in\Omega$; $\bigcap\Delta$ è chiuso perché intersezione di chiusi, inoltre $a\inf(\bigcap\Delta)<=>EEb\in\bigcap\Delta:f(b)=a<=>EEb\inX:AAK\in\Delta, b\inK,f(b)=a=>AAK\in\Delta,a\inf(K)\subK=>a\in\bigcap\Delta$,
tutto ciò implica che $f(\bigcap\Delta)\sub\bigcap\Delta$. Sul fatto che $\bigcap\Delta$ sia diverso dal vuoto ci torniamo dopo.
Quindi Zorn ci garantisce che esiste un elemento massimale di $\Omega$, dimostriamo che qualunque massimale di $\Omega$ soddisfa la proprietà richiesta dall'esercizio: sia $A$ un massimale di $\Omega$, in particolare $f(A)\subA$, considero $f(A)(!=\emptyset)$, $A$ è chiuso in un compatto $=>$ è compatto $=>f(A)$ è compatto in un $T_2=>$ è chiuso, e si ha che $f(A)\subA=>f(f(A))\subf(A)=>f(A)\in\Omega$, dunque $A<=f(A)$ (perché si sapeva $f(A)\subA$), ma essendo $A$ massimale si ha $f(A)=A$.
Avevo momentaneamente lasciato stare il fatto che $\bigcap\Delta$ fosse diverso dal vuoto perché non avevo trovato il modo di farlo, ma mentre scrivevo dovrei aver capito come si fa: per assurdo sia $\bigcap\Delta=\emptyset$, allora i complementari dei $K$ formano un ricoprimento di $X$ quindi $EEn\inNN:EEK_i,1<=i<=n:K_i\in\Delta, {X\setminusK_i}$ è un ricoprimento, ma visto che $\Delta$ era una catena rispetto all'inclusione, ogni suo sottoinsieme finito ha minimo, dunque esisterà un $K_\bar{i}$ tale che $X=X\setminusK_\bar{i}=>K_\bar{i}=\emptyset$, che è assurdo.
Mi dici se va bene? Ed eventualmente cos'è che non va bene, ah un'altra cosa, l'impaginazione è venuta un po' brutta ma non sapevo come renderla migliore, confido nel fatto che capirai tutto.
tutto ciò implica che $f(\bigcap\Delta)\sub\bigcap\Delta$. Sul fatto che $\bigcap\Delta$ sia diverso dal vuoto ci torniamo dopo.
Quindi Zorn ci garantisce che esiste un elemento massimale di $\Omega$, dimostriamo che qualunque massimale di $\Omega$ soddisfa la proprietà richiesta dall'esercizio: sia $A$ un massimale di $\Omega$, in particolare $f(A)\subA$, considero $f(A)(!=\emptyset)$, $A$ è chiuso in un compatto $=>$ è compatto $=>f(A)$ è compatto in un $T_2=>$ è chiuso, e si ha che $f(A)\subA=>f(f(A))\subf(A)=>f(A)\in\Omega$, dunque $A<=f(A)$ (perché si sapeva $f(A)\subA$), ma essendo $A$ massimale si ha $f(A)=A$.
Avevo momentaneamente lasciato stare il fatto che $\bigcap\Delta$ fosse diverso dal vuoto perché non avevo trovato il modo di farlo, ma mentre scrivevo dovrei aver capito come si fa: per assurdo sia $\bigcap\Delta=\emptyset$, allora i complementari dei $K$ formano un ricoprimento di $X$ quindi $EEn\inNN:EEK_i,1<=i<=n:K_i\in\Delta, {X\setminusK_i}$ è un ricoprimento, ma visto che $\Delta$ era una catena rispetto all'inclusione, ogni suo sottoinsieme finito ha minimo, dunque esisterà un $K_\bar{i}$ tale che $X=X\setminusK_\bar{i}=>K_\bar{i}=\emptyset$, che è assurdo.
Mi dici se va bene? Ed eventualmente cos'è che non va bene, ah un'altra cosa, l'impaginazione è venuta un po' brutta ma non sapevo come renderla migliore, confido nel fatto che capirai tutto.
Mi sono dimenticato di dimostrare che $\Omega$ non è vuoto, rimedio subito: banalmente $X\in\Omega$.
"otta96":
[...] Io ero solamente riuscito a notare che, in un caso particolare $X=[a,b]$, è una cosa nota e addirittura si può prendere un singoletto come $A$, quindi $f$ ha un punto fisso, ma in generale non saprei come fare.
A latere se il compatto è anche convesso, hai il teorema del punto fisso di Brouwer.
Ma questo vale solo per sottoinsieme di $RR ^n$ giusto?
"otta96":
Ma questo vale solo per sottoinsieme di $RR ^n$ giusto?
Mmm Brouwer funziona in un qualsiasi spazio euclideo, ma poi hai Schauder che è ancora più generale.
Comunque era solo un commento a latere, senza pretesa di rispondere all'OP (non ho controllato la tua dimostrazione, magari domani).
@otta86 Non vedo errori, ma potrei sbagliarmi...
Grazie delle risposte, ma stavo pensando, non è che funziona la stessa cosa se considero $K_0=X$ e $K_(n+1)=f(K_n)$, non è che come $A$ si può prendere $A=\bigcap_{n=0}^(+\infty) K_n$?
Sennò avrei fatto un po' di fatica per nulla...
Sennò avrei fatto un po' di fatica per nulla...
"otta96":
Grazie delle risposte, ma stavo pensando, non è che funziona la stessa cosa se considero $K_0=X$ e $K_(n+1)=f(K_n)$, non è che come $A$ si può prendere $A=\bigcap_{n=0}^(+\infty) K_n$?
Sennò avrei fatto un po' di fatica per nulla...
Ho fatto un po' di esempi e funziona in tutti. Questa sarebbe una soluzione molto più soddisfacente, perché costruttiva. La difficoltà sta qui: mentre è chiaro che \(f(A)\subset A\), perché l'immagine dell'intersezione è contenuta nell'intersezione delle immagini, non saprei come dimostrare l'implicazione inversa.
Anche io negli esempi che mi sono fatto funziona, ma non riesco a dimostrare l'inclusione contraria.
Una soluzione nel caso metrico.
La successione \(K_n\) definita ponendo
\[
\begin{cases} K_{n+1}=f(K_n) \\ K_0= X\end{cases}\]
è decrescente per inclusione. E quindi essa converge a \(\bigcap_{n=0}^\infty K_n\) nella topologia di
\[
\mathcal K(X)=\{ K\subset X\ \text{compatto}\}, \]
munito della distanza di Hausdorff. D'altra parte la funzione \(f\) induce una mappa continua
\[
f\colon \mathcal K(X)\to \mathcal K(X),\quad K\mapsto f(K).\]
E quindi
\[
f(\bigcap K_n)=\lim_{n\to \infty} f(K_n) =\lim_{n\to \infty} K_{n+1}=\bigcap K_n.\ \square\]
---
Sono abbastanza convinto che l'armamentario della distanza di Hausdorff non serva. Si può probabilmente fare un ragionamento più fine di compattezza per dimostrare la doppia inclusione in \(f(\bigcap K_n)=\bigcap f(K_n)\), sfruttando il fatto che le intersezioni sono decrescenti. Inoltre, è probabile che il risultato sia valido in un contesto di spazi topologici più generali: la distanza di Hausdorff ha senso solo sugli spazi metrici.
La successione \(K_n\) definita ponendo
\[
\begin{cases} K_{n+1}=f(K_n) \\ K_0= X\end{cases}\]
è decrescente per inclusione. E quindi essa converge a \(\bigcap_{n=0}^\infty K_n\) nella topologia di
\[
\mathcal K(X)=\{ K\subset X\ \text{compatto}\}, \]
munito della distanza di Hausdorff. D'altra parte la funzione \(f\) induce una mappa continua
\[
f\colon \mathcal K(X)\to \mathcal K(X),\quad K\mapsto f(K).\]
E quindi
\[
f(\bigcap K_n)=\lim_{n\to \infty} f(K_n) =\lim_{n\to \infty} K_{n+1}=\bigcap K_n.\ \square\]
---
Sono abbastanza convinto che l'armamentario della distanza di Hausdorff non serva. Si può probabilmente fare un ragionamento più fine di compattezza per dimostrare la doppia inclusione in \(f(\bigcap K_n)=\bigcap f(K_n)\), sfruttando il fatto che le intersezioni sono decrescenti. Inoltre, è probabile che il risultato sia valido in un contesto di spazi topologici più generali: la distanza di Hausdorff ha senso solo sugli spazi metrici.
Vediamo se ho capìto bene...
Siano \(\displaystyle(X,\mathcal{T})\) uno spazio topologico di Hausdorff e \(\displaystyle\{K_n\Subset X\}_{n\in\mathbb{N}_{\geq0}}\) una successione decrescente di insiemi compatti (non vuoti) di \(\displaystyle X\), ovvero
\[
\forall n\in\mathbb{N}_{\geq0},\,K_{n+1}\subseteq K_n.
\]
Sia \(\displaystyle C=\bigcap_{n\in\mathbb{N}_{\geq0}}K_n\), essendo una intersezione di insiemi chiusi[nota]Un sottoinsieme compatto di uno spazio di Hausdorff, è un insieme chiuso; ma non vale l'implicazione inversa.[/nota] di \(\displaystyle X\), \(\displaystyle C\) stesso è un sottoinsieme chiuso di \(\displaystyle X\).
Se per assurdo \(\displaystyle C=\emptyset\) allora
\[
K=K\setminus\emptyset=K\setminus C=K\setminus\left(\bigcap_{n\in\mathbb{N}_{\geq0}}K_n\right)=\bigcup_{n\in\mathbb{N}_{\geq0}}K_0\setminus K_n=\bigcup_{n\in\mathbb{N}_{\geq1}}A_n
\]
ove \(\displaystyle A_n=K_0\setminus K_n\) è un sottoinsieme aperto di \(\displaystyle K_0\).
Per la compattezza di \(\displaystyle K_0\) esiste una famiglia finita \(\displaystyle F=\{n_1,...,n_m\in\mathbb{N}_{\geq1}\}\) tale che:
\[
K_0=\bigcup_{n\in F}A_n=\bigcup_{n\in F}K_0\setminus K_n=K_0\setminus\left(\bigcap_{n\in F}K_n\right)
\]
ovvero \(\displaystyle\bigcap_{n\in F}K_n=\emptyset\); ordinando \(\displaystyle F\) secondo l'ordinamento usuale di \(\displaystyle\mathbb{N}_{\geq1}\), sia \(\displaystyle m\) il suo massimo; per costruzione si ha che:
\[
K_m=\bigcap_{n\in F}K_n=\emptyset
\]
in assurdo con le ipotesi.
Onde evitare l'assurdo, \(\displaystyle C\neq\emptyset\).
Torna tutto?!
Siano \(\displaystyle(X,\mathcal{T})\) uno spazio topologico di Hausdorff e \(\displaystyle\{K_n\Subset X\}_{n\in\mathbb{N}_{\geq0}}\) una successione decrescente di insiemi compatti (non vuoti) di \(\displaystyle X\), ovvero
\[
\forall n\in\mathbb{N}_{\geq0},\,K_{n+1}\subseteq K_n.
\]
Sia \(\displaystyle C=\bigcap_{n\in\mathbb{N}_{\geq0}}K_n\), essendo una intersezione di insiemi chiusi[nota]Un sottoinsieme compatto di uno spazio di Hausdorff, è un insieme chiuso; ma non vale l'implicazione inversa.[/nota] di \(\displaystyle X\), \(\displaystyle C\) stesso è un sottoinsieme chiuso di \(\displaystyle X\).
Se per assurdo \(\displaystyle C=\emptyset\) allora
\[
K=K\setminus\emptyset=K\setminus C=K\setminus\left(\bigcap_{n\in\mathbb{N}_{\geq0}}K_n\right)=\bigcup_{n\in\mathbb{N}_{\geq0}}K_0\setminus K_n=\bigcup_{n\in\mathbb{N}_{\geq1}}A_n
\]
ove \(\displaystyle A_n=K_0\setminus K_n\) è un sottoinsieme aperto di \(\displaystyle K_0\).
Per la compattezza di \(\displaystyle K_0\) esiste una famiglia finita \(\displaystyle F=\{n_1,...,n_m\in\mathbb{N}_{\geq1}\}\) tale che:
\[
K_0=\bigcup_{n\in F}A_n=\bigcup_{n\in F}K_0\setminus K_n=K_0\setminus\left(\bigcap_{n\in F}K_n\right)
\]
ovvero \(\displaystyle\bigcap_{n\in F}K_n=\emptyset\); ordinando \(\displaystyle F\) secondo l'ordinamento usuale di \(\displaystyle\mathbb{N}_{\geq1}\), sia \(\displaystyle m\) il suo massimo; per costruzione si ha che:
\[
K_m=\bigcap_{n\in F}K_n=\emptyset
\]
in assurdo con le ipotesi.
Onde evitare l'assurdo, \(\displaystyle C\neq\emptyset\).
Torna tutto?!
Non si capisce che cosa vuoi dimostrare. In ogni caso sembri affermare che ogni successione decrescente di compatti è stazionaria. Ma questo è falso: $[0,1/n]$, per esempio.
Allora non ero solo io che non capivo cosa voleva dimostrare! L'ipotesi che ho fatto io è che volesse dimostrare che l'intersezione di una successione di chiusi decrescente fosse non vuota, altrimenti non sarebbe nemmeno giustificato questo passaggio:
gli elementi dell'intersezione non verrebbero ricoperti. Però questo era una cosa che davo per scontato, perché nota, ma il punto era un altro...
"j18eos":
siano \(\displaystyle A_m=K_0\setminus K_m\), con \(\displaystyle m\in\mathbb{N}_{\geq1}\); per quanto premesso, \(\displaystyle\{A_m\subseteq K_0\}_{m\in\mathbb{N}_{\geq1}}\) e un ricoprimento per aperti di \(\displaystyle K_0\)
gli elementi dell'intersezione non verrebbero ricoperti. Però questo era una cosa che davo per scontato, perché nota, ma il punto era un altro...
Avevo sbagliato la tesi.
Se il testo non si capisce ancòra, rimando a MSE!
Se il testo non si capisce ancòra, rimando a MSE!
@Armando: OK, l'intersezione decrescente di compatti è non vuota. Vero, avrei dovuto specificarlo nel mio post. Tuttavia, la cosa che qui abbiamo congetturato e che manca di dimostrazione è la seguente.
Congettura. Se \(X\) è uno spazio topologico compatto di Hausdorff e \(f\colon X\to X\) è una mappa continua allora la successione di compatti definita da
\[
\begin{cases}
K_{n+1}=f(K_n) \\
K_0=X
\end{cases}\]
è tale che
\[
f\left( \bigcap_{n=0}^\infty K_n\right) = \bigcap_{n=0}^\infty K_n.\]
Osservazioni.
1. L'esistenza di un compatto \(K\subset X\) tale che \(f(K)=K\) è stata dimostrata da otta usando il lemma di Zorn.
2. La congettura è vera (salvo errori miei) nel caso in cui \(X\) sia uno spazio metrico, ma la dimostrazione usa il concetto di distanza di Hausdorff che non si estende a spazi topologici più generali.
3. La successione \(K_n\) è decrescente per inclusione (ovvero \(K_{n+1}\subset K_n\)); come osservato da Armando j18eos, questo implica che l'intersezione \(\bigcap_{n=0}^\infty K_n\) sia non vuota.
Congettura. Se \(X\) è uno spazio topologico compatto di Hausdorff e \(f\colon X\to X\) è una mappa continua allora la successione di compatti definita da
\[
\begin{cases}
K_{n+1}=f(K_n) \\
K_0=X
\end{cases}\]
è tale che
\[
f\left( \bigcap_{n=0}^\infty K_n\right) = \bigcap_{n=0}^\infty K_n.\]
Osservazioni.
1. L'esistenza di un compatto \(K\subset X\) tale che \(f(K)=K\) è stata dimostrata da otta usando il lemma di Zorn.
2. La congettura è vera (salvo errori miei) nel caso in cui \(X\) sia uno spazio metrico, ma la dimostrazione usa il concetto di distanza di Hausdorff che non si estende a spazi topologici più generali.
3. La successione \(K_n\) è decrescente per inclusione (ovvero \(K_{n+1}\subset K_n\)); come osservato da Armando j18eos, questo implica che l'intersezione \(\bigcap_{n=0}^\infty K_n\) sia non vuota.
Grazie per le osservazioni: ora ho capìto!
Ovviamente avete già scritto che \(\displaystyle f\left(\bigcap_{n\in\mathbb{N}_{\geq0}}K_n\right)\subseteq\bigcap_{n\in\mathbb{N}_{\geq0}}K_n\); sia \(\displaystyle x\in C=\bigcap_{n\in\mathbb{N}_{\geq1}}K_n\), allora \(\displaystyle\forall n\in\mathbb{N}_{\geq0},\,x\in K_n\) e si possono considerare gli insiemi chiusi \(\displaystyle F_n=K_n\cap f^{-1}(\{x\})\); per costruzione \(\displaystyle\{F_n\Subset X\}_{n\in\mathbb{N}_{\geq0}}\) è una successione decrescente di insiemi compatti non vuoti, e quindi \(\displaystyle F=\bigcap_{n\in\mathbb{N}_{\geq1}}F_n\neq\emptyset\).
Sia \(\displaystyle y\in F\), si ha che \(\displaystyle f(y)=x\in C\); ovvero \(\displaystyle C\subseteq f(C)\), e per quanto premesso \(\displaystyle f(C)=C\).
Q.E.D. \(\displaystyle\Box\)
Nota: La proprietà che l'intersezione di una successione decrescente di insiemi compatti, in uno spazio di Hausdorff, sia non vuota va sotto il nome di Teorema dell'intersezione di Cantor.
Ovviamente avete già scritto che \(\displaystyle f\left(\bigcap_{n\in\mathbb{N}_{\geq0}}K_n\right)\subseteq\bigcap_{n\in\mathbb{N}_{\geq0}}K_n\); sia \(\displaystyle x\in C=\bigcap_{n\in\mathbb{N}_{\geq1}}K_n\), allora \(\displaystyle\forall n\in\mathbb{N}_{\geq0},\,x\in K_n\) e si possono considerare gli insiemi chiusi \(\displaystyle F_n=K_n\cap f^{-1}(\{x\})\); per costruzione \(\displaystyle\{F_n\Subset X\}_{n\in\mathbb{N}_{\geq0}}\) è una successione decrescente di insiemi compatti non vuoti, e quindi \(\displaystyle F=\bigcap_{n\in\mathbb{N}_{\geq1}}F_n\neq\emptyset\).
Sia \(\displaystyle y\in F\), si ha che \(\displaystyle f(y)=x\in C\); ovvero \(\displaystyle C\subseteq f(C)\), e per quanto premesso \(\displaystyle f(C)=C\).
Q.E.D. \(\displaystyle\Box\)
Nota: La proprietà che l'intersezione di una successione decrescente di insiemi compatti, in uno spazio di Hausdorff, sia non vuota va sotto il nome di Teorema dell'intersezione di Cantor.
Olé! Mi pare corretto. Avevi ragione sul fatto che quella proprietà dell'intersezione decrescente di compatti era la chiave.
Grazie j18eos della dimostrazione, stavo pensando anche io qualcosa del genere, ma non mi riusciva concludere.
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