Esercizio su sottospazi

[ciaomammalolmao]

Sia r un sottospazio vettoriale di dimensione 1 di $R^3$. Sia $S={finHom(R^3,R^3)|f(r)subr}$. Dire se S sottospazio vettoriale di $Hom(R^3,R^3)$ e calcolarne la dimensione. Sono partito dalla definizione di sottospazio cercando di provare la chiusura dell’insieme rispetto alla somma e alla moltiplicazione per scalare. Ma già nel provare la chiusura rispetto alla somma mi trovo in difficoltà: consideriamo $f,g in S$ dobbiamo verificare che $f+g in S$ ma $f+g in S, se (f+g)(r)sub r$
Ma dato che $(f+g)(r)$ è f di un insieme e non f di un singolo elemento come faccio a dimostrare la proprietà? Grazie

[regim]

"ciaomammalolmao":Sia r un sottospazio vettoriale di dimensione 1 di $R^3$. Sia $S={finHom(R^3,R^3)|f(r)subr}$.....
Ma dato che $(f+g)(r)$ è f di un insieme e non f di un singolo elemento come faccio a dimostrare la proprietà? Grazie

Rispondi alla domanda: $f(r)\sub r $ cosa significa? Poi considera la definizione di somma vettoriale tra i due vettori operatori lineari e hai la soluzione del problema, tenuto conto che r è un sottospazio vettoriale.

[ciaomammalolmao]

Per rispondere alla prima domanda $f(r)subr$ significa che per ogni $vinR^3$ si ha che se $vinf(r)=>vinr$ giusto? Non ho capito poi cosa intendi con somma vettoriale tra operatori lineari. Cosa è un operatore lineare?

[regim]

"ciaomammalolmao":Per rispondere alla prima domanda $f(r)subr$ significa che per ogni $vinR^3$ si ha che se $vinf(r)=>vinr$ giusto?

No, significa che se $vec(v)\in r =>f(vec(v))\in r $, con $f(r)$ s'intende l'immagine di r.

"ciaomammalolmao":
Non ho capito poi cosa intendi con somma vettoriale tra operatori lineari. Cosa è un operatore lineare?

Le funzioni che stai considerando sono chiamate operatori lineari, in quanto gli spazi dominio e codominio sono spazi vettoriali identici, in questo caso uguali a $R^3$.
Sono comunque applicazioni lineari.
Ti consiglio di rivederti un po' queste definizioni e quella di somma di due vettori quando questi sono applicazioni lineari. Questo è un esercizio per la cui soluzione basta conoscere le definizioni, non c'è molto altro.