Esercizio su somma diretta.
Buonasera,
Si considerino i seguenti sottospazi di \(\displaystyle \mathbb{R^4} \)
\(\displaystyle U=< (1,0,1,0),(0,1,1,1),(0,0,0,1)> \)
\(\displaystyle V=< (1,0,1,0),(0,1,1,0) \)
Si determini un sottospazio \(\displaystyle W \) di \(\displaystyle \mathbb{R^4} \) tale che \(\displaystyle U=V \oplus W \), e si dica se tale \(\displaystyle W \) è unico.
Ho provato a risolverlo, ma ho qualche dubbio a riguardo, comunque sia vi riporto il mio svolgimento cosi se c'è qualcosa che non va viene fuori
Per prima cosa grazie alla formula di Grassman, posso dire che
\(\displaystyle dim(W+V)=dimW+dimV \)
\(\displaystyle V + W \), è somma diretta.
Mi calcolo la \(\displaystyle dimU=3 \), quindi la somma di \(\displaystyle V \) e \(\displaystyle W \) deve essere pari a tre.
Mi calcolo la \(\displaystyle dimV=2 \), allora la \(\displaystyle dimW=1 \), per cui la base di \(\displaystyle W \) è un vettore \(\displaystyle w \).
Ora qui comincio a traballare
si ha : $**$ \(\displaystyle \forall u \in U ; \exists ! v \in V; \exists w \in W : u=v+w \)
seguo la def. $**$
allora
\(\displaystyle u_1=(1,0,1,0) \)
\(\displaystyle u_2=(0,1,1,1) \)
\(\displaystyle u_3=(0,0,0,1) \)
\(\displaystyle v_1=(1,0,1,0) \)
\(\displaystyle v_2=(0,1,1,0) \)
quindi
\(\displaystyle u_1=v_1+w \to w=(0,0,0,0) \)
\(\displaystyle u_2=v_2+w \to w=u_3 \)
\(\displaystyle u_3=w-v_2 \to w=u_2 \)
Ciao
Si considerino i seguenti sottospazi di \(\displaystyle \mathbb{R^4} \)
\(\displaystyle U=< (1,0,1,0),(0,1,1,1),(0,0,0,1)> \)
\(\displaystyle V=< (1,0,1,0),(0,1,1,0) \)
Si determini un sottospazio \(\displaystyle W \) di \(\displaystyle \mathbb{R^4} \) tale che \(\displaystyle U=V \oplus W \), e si dica se tale \(\displaystyle W \) è unico.
Ho provato a risolverlo, ma ho qualche dubbio a riguardo, comunque sia vi riporto il mio svolgimento cosi se c'è qualcosa che non va viene fuori
Per prima cosa grazie alla formula di Grassman, posso dire che
\(\displaystyle dim(W+V)=dimW+dimV \)
\(\displaystyle V + W \), è somma diretta.
Mi calcolo la \(\displaystyle dimU=3 \), quindi la somma di \(\displaystyle V \) e \(\displaystyle W \) deve essere pari a tre.
Mi calcolo la \(\displaystyle dimV=2 \), allora la \(\displaystyle dimW=1 \), per cui la base di \(\displaystyle W \) è un vettore \(\displaystyle w \).
Ora qui comincio a traballare
si ha : $**$ \(\displaystyle \forall u \in U ; \exists ! v \in V; \exists w \in W : u=v+w \)
seguo la def. $**$
allora
\(\displaystyle u_1=(1,0,1,0) \)
\(\displaystyle u_2=(0,1,1,1) \)
\(\displaystyle u_3=(0,0,0,1) \)
\(\displaystyle v_1=(1,0,1,0) \)
\(\displaystyle v_2=(0,1,1,0) \)
quindi
\(\displaystyle u_1=v_1+w \to w=(0,0,0,0) \)
\(\displaystyle u_2=v_2+w \to w=u_3 \)
\(\displaystyle u_3=w-v_2 \to w=u_2 \)
Ciao
Risposte
Quindi W cos'è secondo te?
Ciao,
qui è uno dei problemi, cioè il testo chiede di determinare il sottospazio \(\displaystyle W \). Ora per def. di sottospazio, si ha :
1 \(\displaystyle 0 \in W \)
2 \(\displaystyle \forall h, k \in K : \forall x,y \in W \to hx+ky \in W \)
1 è soddisfatta in quanto esiste l'elemento nullo
2 è chiuso rispetto alla somma
Quindi potrei dire che \(\displaystyle W \) è un sottospazio. Ma di questo non ne sono sicuro.
Invece per la seconda domanda,mi chiede di verificare se la somma è diretta.. penso di no
qui è uno dei problemi, cioè il testo chiede di determinare il sottospazio \(\displaystyle W \). Ora per def. di sottospazio, si ha :
1 \(\displaystyle 0 \in W \)
2 \(\displaystyle \forall h, k \in K : \forall x,y \in W \to hx+ky \in W \)
1 è soddisfatta in quanto esiste l'elemento nullo
2 è chiuso rispetto alla somma
Quindi potrei dire che \(\displaystyle W \) è un sottospazio. Ma di questo non ne sono sicuro.
Invece per la seconda domanda,mi chiede di verificare se la somma è diretta.. penso di no
Ti manca un vettore $w$ tale che la intersezione tra lo spazio che genera e l'altro sia solo il vettore nullo.Ad esempio un buon candidato mi sembra $(0,0,0,1)$
Scusa galles ma non ti seguo, intendevo quali elementi ci metteresti in W?
Buonasera,
scusatemi se vi rispondo un po' in ritardo, ma ho avuto dei problemi con la linea telefonica !
quindi per determinare la somma diretta tra \(\displaystyle V \) e \(\displaystyle W \), come hai detto tu giustamente, devo far vedere che l'intersezione tra i due sottospazi mi dia il vettore nullo, ovvero \(\displaystyle V\cap W= 0 \).
Ora considerando i vettori di \(\displaystyle V \), anche \(\displaystyle w=(1,1,1,1) \) può andare bene ?
voglio avere l'idee chiare sull'affermazione che ha fatto caffeinaplus, perché nell'eventualità che avrei dato la risposta esatta, potrei determinare W.
Ciao
scusatemi se vi rispondo un po' in ritardo, ma ho avuto dei problemi con la linea telefonica !
"caffeinaplus":
Ti manca un vettore $ w $ tale che la intersezione tra lo spazio che genera e l'altro sia solo il vettore nullo.Ad esempio un buon candidato mi sembra $ (0,0,0,1) $
quindi per determinare la somma diretta tra \(\displaystyle V \) e \(\displaystyle W \), come hai detto tu giustamente, devo far vedere che l'intersezione tra i due sottospazi mi dia il vettore nullo, ovvero \(\displaystyle V\cap W= 0 \).
Ora considerando i vettori di \(\displaystyle V \), anche \(\displaystyle w=(1,1,1,1) \) può andare bene ?
"marco.ve":
Scusa galles ma non ti seguo, intendevo quali elementi ci metteresti in W?
voglio avere l'idee chiare sull'affermazione che ha fatto caffeinaplus, perché nell'eventualità che avrei dato la risposta esatta, potrei determinare W.
Ciao
Ciao, non vorrei sbagliare ma a me sembra che dato che W ha dimensione 1, basta prendere un vettore libero da quelli che generano V ( che ti andrà a formare una base di W) per far sì che V intersecato W sia banale.Ad esempio il vettore $(1,-1,2,0)$.
Si anche quello da te suggerito potrebbe andare bene (non sono certissimo generi lo stesso sottospazio) dato che la loro intersezione è solo il vettoremio nullo.Il fatto è che se tu prendi $(0,0,0,1)$ che già sai essere un vettore di base dell'insieme più grande che vuoi formare con quella somma, gli esiti saranno positivi
Hey buongiorno caffeinaplus
se dico che il vettore \(\displaystyle w=(1,1,1,1) \) ; \(\displaystyle w \in W \)
\(\displaystyle V=(1,0,1,0),(0,1,1,0) \)
allora è nulla la loro intersezione, giusto ?
Se è cosi che la loro intersezione è nulla,allora la somma tra \(\displaystyle V,W \) è diretta.
Ma come hai detto, ci sono più vettori che danno l'intersezione nulla, quindi la somma non è diretta..... c'è qualcosa che non mi torna
se dico che il vettore \(\displaystyle w=(1,1,1,1) \) ; \(\displaystyle w \in W \)
\(\displaystyle V=(1,0,1,0),(0,1,1,0) \)
allora è nulla la loro intersezione, giusto ?
Se è cosi che la loro intersezione è nulla,allora la somma tra \(\displaystyle V,W \) è diretta.
Ma come hai detto, ci sono più vettori che danno l'intersezione nulla, quindi la somma non è diretta..... c'è qualcosa che non mi torna
Con somma diretta si intende che la loro intersezione è nulla.Immagina il classico piano cartesiano, e inmagina tutte le rette che passano per $0$.Ci sono sicuramente infinite rette in somma diretta tra loro generate da vettori diversi, quindi dopo aver ragionato su questo dovrebbe essere facile capire che effettivamente un vettore in somma diretta con uno spazio vettoriale non è detto sia unico, quindi è normale trovarne più di uno.Il problema è che scegliendone uno diverso da quello che ho detto non sono certo generi lo stesso spazio vettoriale richiesto 
Edit: forse l'esempio non è giustissimo consideratodi nel piano e non in $RR^n$ però intuitivamente dovrebbe fare il suo sporco lavoro, usalo solo per fissare l'idea
Edit: forse l'esempio non è giustissimo consideratodi nel piano e non in $RR^n$ però intuitivamente dovrebbe fare il suo sporco lavoro, usalo solo per fissare l'idea
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