Esercizio su $S^3$
Sulla circonferenza unitaria $S^3$ si considerino $N$ e $S$ due punti e C una circonferenza di raggio massimo.
si determinino i gruppi fondamentali di:
$S^3-{N,S}$
$S^3-C$
$S^3/ZZ_3$
Allora per il primo sono partita dalla relazione $S^n-{p}$ è omeomorfo a $RR^n$ dunque $S^n-{N,S}$ è omeomorfo a $RR^n-{p}$ ora $RR^n-$ un numero finito di punti è semplicemente connesso, dunque il gruppo fondamentale del primo è banale.
P.s(come lo dimostro che $RR^n-${numero finito di punti} ha gruppo fondametale banale?)
2.$S^3-C$ l'ho pensata come unione di due emisferi privati dell'equatore, ho pensato alla proiezione stereografica sotto e sopra, quindi due dischi e ho pensato che sono omotopi a due punti(di questo non sono certissima)
3. $ZZ_3$ dato che $S^3$ è semplicemente connesso e $ZZ_3$ è un'azione propriamente discontinua.
si determinino i gruppi fondamentali di:
$S^3-{N,S}$
$S^3-C$
$S^3/ZZ_3$
Allora per il primo sono partita dalla relazione $S^n-{p}$ è omeomorfo a $RR^n$ dunque $S^n-{N,S}$ è omeomorfo a $RR^n-{p}$ ora $RR^n-$ un numero finito di punti è semplicemente connesso, dunque il gruppo fondamentale del primo è banale.
P.s(come lo dimostro che $RR^n-${numero finito di punti} ha gruppo fondametale banale?)
2.$S^3-C$ l'ho pensata come unione di due emisferi privati dell'equatore, ho pensato alla proiezione stereografica sotto e sopra, quindi due dischi e ho pensato che sono omotopi a due punti(di questo non sono certissima)
3. $ZZ_3$ dato che $S^3$ è semplicemente connesso e $ZZ_3$ è un'azione propriamente discontinua.
Risposte
"squalllionheart":
Sulla circonferenza unitaria $S^3$ si considerino $N$ e $S$ due punti e C una circonferenza di raggio massimo.
si determinino i gruppi fondamentali di:
$S^3-{N,S}$
$S^3-C$
$S^3/ZZ_3$
Allora per il primo sono partita dalla relazione $S^n-{p}$ è omeomorfo a $RR^n$ dunque $S^n-{N,S}$ è omeomorfo a $RR^n-{p}$ ora $RR^n-$ un numero finito di punti è semplicemente connesso, dunque il gruppo fondamentale del primo è banale.
P.s(come lo dimostro che $RR^n-${numero finito di punti} ha gruppo fondametale banale?)
2.$S^3-C$ l'ho pensata come unione di due emisferi privati dell'equatore, ho pensato alla proiezione stereografica sotto e sopra, quindi due dischi e ho pensato che sono omotopi a due punti(di questo non sono certissima)
3. $ZZ_3$ dato che $S^3$ è semplicemente connesso e $ZZ_3$ è un'azione propriamente discontinua.
1) Allora $S_3$ senza un punto è omeomorfo a $RR^3$ togliendo ancora un punto si ha $RR^3$ senza un punto che è omeomorfo a $S^2$...
2) 2 componenti connesse, entrambe semplicemente connesse... Quindi il gruppo fondamentale è banale ovunque
3) dovrebbe essere giusto...
scusa per la prima intendi $RR^3-{punto}$ omotopo a $S^2$?
"squalllionheart":
scusa per la prima intendi $RR^3-{punto}$ omotopo a $S^2$?
Si, beh... dividi per la norma dei punti traslati in modo tale che il punto sia in $(0,0)$
si perchè nel topic di prima hai scritto due volte omeomorfo
"squalllionheart":
si perchè nel topic di prima hai scritto due volte omeomorfo
era fuso...
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