Esercizio su rette e piani nello spazio proiettivo

[zipangulu]

Ho il seguente esercizio:
Mostrare che la retta:
$r: { ( 2x-y+z=0 ),( x-4y=1 ):} $
è sghemba con la retta impropria del piano $2x+z-2=0$ e determinare equazioni omogenee per la retta che incida entrambe e passi per $P=(2,0,0)$.

Io ho ragionato così,ditemi se e dove ho sbagliato:
affinchè due rette siano sghembe è necessario che non esista un piano che le contenga entrambe,trovo la retta impropria del piano $2x+z-2=0$ scrivendo il piano in coordinate omogenee e intersacandolo col piano improprio:
${(2X+Z-2T=0),(T=0):}$
da cui trovo che la retta impropria del piano ha equazione omogenea:
$2X-Y=0$
la cui equazione cartesiana è:
$2x-y=0$

ora trovo il fascio di piani di asse $r$:
$2x-y+z+lambda(x-4y-1)=0$
$(2+lambda)x+(-1-4lambda)y+z-lambda=0$
ora affinche la retta impropria prima trovata sia complanare con r deve esistere un valore di $lambda$ tale da definire un piano del fascio che le contiene,cioè la retta impropria deve poter essere soluzione del fascio,deve quindi avvenire che:
$ rang( ( 2+lambda , -1-4lambda , 1 ),( 2 , 0 , 1 ) )=1 $
dal quale sistema associato trovo che sia impossibile,deduco quindi che nn esiste un piano del fascio che le contenga entrambe,quindi sono sghembe
fin qui è corretto?

la parte successiva dell'esercizio come la risolvo?mi date un aiuto?

[zipangulu]

essendo passate 24 h dalla pubblicazione del post chiedo:nessuno che può aiutarmi?

[cirasa]

Non ho letto tutto, ma

"zipangulu":scrivendo il piano in coordinate omogenee e intersacandolo col piano improprio:
${(2X+Z-2T=0),(T=0):}$
da cui trovo che la retta impropria del piano ha equazione omogenea:
$2X-Y=0$
la cui equazione cartesiana è:
$2x-y=0$

Mi sembra che $2X-Y=0$ non possa mai essere l'equazione di una retta nello spazio proiettivo.
Non capisco perchè non ti piaccia
${(2X+Z-2T=0),(T=0):}$
come equazione della retta impropria, ovvero
${(2X+Z=0),(T=0):}$

[zipangulu]

allora riassumendo devo vedere se sono sghembe le due rette:
$r: {(2x-y+z=0),(x-4y-1=0):}$ che in coordinate omogenee ha equazione:
$r: {(2X-Y+Z=0),(X-4Y-T=0):}$

e la retta
${(2X+Z-2T=0),(T=0):}$
quindi mi basta valutarne in altre parole la complanarità studiando tale determinante

$ det( ( 2 , -1 , 1 , 0 ),( 1 , -4 , 0 , -1 ),( 2 , 0 , 1 , -2 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) )=-1!=0 $

dunque non sono complanari,non esiste un piano che le contenga entrambe,concludo affermando che sono sghembe.E' corretto il mio ragionamento?

Per la seconda parte dell'esercizio come procedo?

[zipangulu]

Per la seconda parte può andar bene questo ragionamento:
trovo i fasci di piani di asse ciascuna delle due rette $r,s$
le interseco facendone il sistema e impongo il passaggio per $P=(2,0,0)$ che in coordinate omogenee sarà,essendo un punto reale $P=(2,0,0,1)$
trovando così i due scalari dei fasci avendo così la retta cercata come intersezione dei due piani ottenuti dai due fasci di asse $r,s$

E' giusto il ragionamento?

[cirasa]

Mi sembra che sia tutto giusto ora.