Esercizio su rango e matrici
allora, il problema è questo:
Sia $A in M(4x4,K)$ tale che essa abbia rango 3. Allora
1)$rg(A*A)<4$
2)$rg(A*A)=3$
3)$det(A*A)!= 0$
4)$A*A=0$
allora, primo problema:
dire che una qualsiasi matrice 4x4 ha rango 3 significa che dopo avere ridotto la matrice mediante le operazioni elementari sulle righe in essa c'è una sola riga, l'ultima, con tutti zeri?
Sia $A in M(4x4,K)$ tale che essa abbia rango 3. Allora
1)$rg(A*A)<4$
2)$rg(A*A)=3$
3)$det(A*A)!= 0$
4)$A*A=0$
allora, primo problema:
dire che una qualsiasi matrice 4x4 ha rango 3 significa che dopo avere ridotto la matrice mediante le operazioni elementari sulle righe in essa c'è una sola riga, l'ultima, con tutti zeri?
Risposte
Sì, una riga è nulla. Che sia l'ultima o la prima non è importante.
Ma non ho capito cosa vuole l'esercizio. Provare o confutare ciascuna di esse, dire quale di esse è vera o cosa?
Ma non ho capito cosa vuole l'esercizio. Provare o confutare ciascuna di esse, dire quale di esse è vera o cosa?
si una sola è vera...l'ultima non mi pare plausibile, infatti il mio dubbio è tra le prime due...ma non saprei quale scegliere con certezza
Allora cerca dei contro esempi, mi raccomando falli semplici e vedi se riesci ad escluderne qualcuna così. Almeno una o due dovresti confutarle.
Per esempio $((1,0,0,0),(1,0,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$ ha palesemente rango $3$. Prova a moltiplicarla per se stessa e vedi cosa puoi escludere!
Inoltre ti faccio osservare che vera la C) sono automaticamente false la A) e la B).
PS Tra l'altro la A) e la B) potrebbero essere vere entrambe...
Per esempio $((1,0,0,0),(1,0,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$ ha palesemente rango $3$. Prova a moltiplicarla per se stessa e vedi cosa puoi escludere!
Inoltre ti faccio osservare che vera la C) sono automaticamente false la A) e la B).
PS Tra l'altro la A) e la B) potrebbero essere vere entrambe...
allora ci provo, tu dimmi se è giusto 
se moltiplico quella matrice per se stessa mi viene esattamente quella matrice, o sbaglio?da ciò concludo che la matrice nuova ha sempre rango tre e quindi la 2 è giusta vero?
se moltiplico quella matrice per se stessa mi viene esattamente quella matrice, o sbaglio?da ciò concludo che la matrice nuova ha sempre rango tre e quindi la 2 è giusta vero?
Ehm... non puoi ragionare così però. Nel senso un esempio non fa nulla.
I numeri del tipo $n^2+1$ sono primi. Verò per $n=1,2$ ma già da $3$ non vale più
Con quel controesempio puoi senz'altro dedurre che la 4) è falsa. Ed avendo rango $3$ anche la 3) è falsa.
I numeri del tipo $n^2+1$ sono primi. Verò per $n=1,2$ ma già da $3$ non vale più
Con quel controesempio puoi senz'altro dedurre che la 4) è falsa. Ed avendo rango $3$ anche la 3) è falsa.
bene allora penso a un altro esempio...quando (e se) lo trovo te lo scrivo...
Non cercare esempi, non servono, se non a convincerci che una cosa funzioni e magari per capire come (dal particolare al generale), ma un controesempio se secondo te la cosa non può funzionare. Altrimenti devi dimostrare che è così!
allora dico una cosa, che magari è una stupidata, ma vabbè....allora abbiamo detto che una matrice 4x4 che ha rango tre ha sempre un riga nulla...benissimo se moltiplichiamo una matrice 4x4 per se stessa troviamo sempre un'altra matrice, sempre 4x4 per definizione di prodotto tra matrici...avendo una e qui è fondamentale, solo una,riga nulla nella matrice di partenza...se la moltiplichiamo per se stessa avremo sempre solo una riga nulla nella matrice ottenuta. questo prova che il rango è sempre e solo tre...è abbastanza convincente?
"blabla":
allora dico una cosa, che magari è una stupidata, ma vabbè....allora abbiamo detto che una matrice 4x4 che ha rango tre ha sempre un riga nulla...benissimo se moltiplichiamo una matrice 4x4 per se stessa troviamo sempre un'altra matrice, sempre 4x4 per definizione di prodotto tra matrici...avendo una e qui è fondamentale, solo una,riga nulla nella matrice di partenza...se la moltiplichiamo per se stessa avremo sempre solo una riga nulla nella matrice ottenuta. questo prova che il rango è sempre e solo tre...è abbastanza convincente?
Non so se ho capito che cosa intendi, però guarda che quanto affermi è falso (prova con la matrice $A= ( {: ( 1 , 1 , 1 , 1 ),( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) :} )$ : vedi che $A*A$ ha rango 2).
L'idea di base per risolvere l'esercizio, secondo me, è ricordare bene il legame tra determinante e rango (e magari il teorema di Binet).
ah ok grazie adesso devo andare, ci penso su poi quanto torno scrivo qualcosa...
posso dire che la matrice A che hai scritto (non AA solo A) ha rango tre senza usare il determinante?
adesso devo andare, ci penso su poi quanto torno scrivo qualcosa...posso dire che la matrice A che hai scritto (non AA solo A) ha rango tre senza usare il determinante?
Per fa sì che possa postare le tue impressioni nascondo il mio intervento.
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