Esercizio su ortonormalità basi sottospazi.

[BRN1]

Ciao a tutti, mi servirebbero dei chiarimenti su questo esercizio.

in $ RR^4$ si consideri la forma bilineare $b: RR^4 xx RR^4 rarr RR^4$ definita come

$b=2x_1y_1+x_2y_2+2x_3y_3+x_3y_4+x_4y_3+2x_4y_4$

e il sottospazio $S={(x_1, x_2, x_3, x_4)^t| x_1=x_2, x_3=x_4}$

a) si dimostri che $b$ è un prodotto scalare definito positivo.
b) Nello spazio euclideo $(RR^4, b)$ si determini una base ortonormale per $S$.
c) Nello spazio euclideo $(RR^4, b)$ si determini una base ortonormale di autovettori per la proiezione ortogonale su $S$ $pi:RR^4 rarr RR^4$.

Io ho fatto così:

a) dalla definizione di $b$ ho la matrice associata alla forma bilineare

$ M_b=( ( 2 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 2 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 2 ) ) $

determino il segno dei minori do Nord-Ovest:

$2>0$

$ det(( 2 , 0 ),( 0 , 1 ) ) =2 >0 $

$ det(( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) ) =4 >0 $

$ det( ( 2 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 2 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 2 ) ) =6 >0 $

da cui deduco che $b$ è definito positivo.

b) Data la definizione di $S$, ne ricavo la base:

$ { ( x_1=x_2 ),( x_2=c ),( x_3=x_4 ),( x_4=t ):} rArr ( ( x_1 ),( x_2 ),( x_3 ),( x_4 ) ) = c( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) )+t( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 1 ) ) $

$ B_S={( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ),( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 1 ) )} $

Cerco una base ortonormale per $S$ considerando la definizione di $b$ e usando G.S.. Noto però che i due vettori sono già ortogonali tra loro e se normalizzo il primo e applico G.S. con il secondo, ottengo un vettore nullo.Quindi? come si procede?

c) Ma in questo caso cosa dovrei fare? Dovrei cercare gli autovalori e autovettori di $M_b$?

Mi potete aiutare?

Grazie!

[BRN1]

Nessuno???

[seragno]

Per il punto b) non devi utilizzare il prodotto scalare naturale nell'algoritmo di Gram-Schmidt,ma devi appunto usare la forma bilineare $b$ visto appunto che lo spazio vettoriale euclideo non è quello standard con l'usuale prodotto scalare naturale,bensì è $(R4,b)$.

[BRN1]

Ma infatti per calcolare Gram-Schmidt non ho usato il prodotto scalare canonico, ma ho usato quello definito da $b$. Il risultato è che ottengo un vettore nullo...

[dissonance]

Non si capisce cosa significhi "se ortonormalizzo il primo e applico GS al secondo". Infatti, non significa niente. Se i due vettori \(v_1, v_2\) sono ortogonali rispetto a \(b\), devi semplicemente calcolare la loro lunghezza (ovvero \(\sqrt{b(v_1, v_1)}, \sqrt{b(v_2, v_2)}\) ) e dividere.

[BRN1]

"dissonance":Non si capisce cosa significhi "se ortonormalizzo il primo e applico GS al secondo".

Significa che se normalizzo il primo vettore:

$ v_1=1/sqrt(<( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ), ( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) )>) ( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) )=1/sqrt(3)( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) $

poi tramite GS e applicando $b$ ottengo:

$ v_2=<( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 1 ) ), ( ( 1/sqrt3 ),( 1/sqrt3 ),( 0 ),( 0 ) )>( ( 1/sqrt3 ),( 1/sqrt3 ),( 0 ),( 0 ) ) = 0 $

"dissonance": Se i due vettori \( v_1, v_2 \) sono ortogonali rispetto a \( b \), devi semplicemente calcolare la loro lunghezza (ovvero \( \sqrt{b(v_1, v_1)}, \\sqrt{b(v_1, v_1)} \) ) e dividere.

Ok, allora mi serve solo normalizzarli e sono a posto.

Per il punto c) che cosa potete dirmi?

[anto_zoolander]

"BRN":Esercizio su ortonormalità basi sottospazzi

[size=200]sottospazi*[/size]

[BRN1]

Ops!
Non mi ero accorto della doppia z...

Grazie per avermelo fatto notare, anche se avrei gradito di più un commento sull'esercizio...

[dissonance]

Hai le idee confuse su Gram Schmidt, anzi per essere precisi, non penso tu lo abbia capito. Ti consiglio di rimediare perché è una tecnica base della matematica.

Quanto al terzo punto, prova a completare la base ortonormale di \(S\), che hai trovato nel punto b), ad una base di \(\mathbb R^4\). Poi calcola la matrice associata a \(\pi\) rispetto a questa base. Ti si dovrebbe accendere una luce.

[BRN1]

Hai ragione, mi sono dimenticato un pezzo nell'ortogonalizzazione...

$ v_2=( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 1 ) ) - <( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 1 ) ), ( ( 1/sqrt3 ),( 1/sqrt3 ),( 0 ),( 0 ) )>( ( 1/sqrt3 ),( 1/sqrt3 ),( 0 ),( 0 ) ) = ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 1 ) ) $

e infatti tutto torna.

Per il punto c) quindi mi calcolo $pi$ a partire dalla base trovata in b) e studio autovalori e autovettori. Considerando che autovettori relativi ad autovalori diversi sono ortogonali, non mi rimane altro che normalizzarli. Giusto?

[dissonance]

Per il punto c), inizia a fare qualche conto. Non chiedere conferme continuamente, è una cattiva abitudine. Fai un tentativo e poi lo commentiamo.

[BRN1]

Dunque, ho fatto un po' fatica a completare la base trovata al punto b).
Teoricamente avrei dovuto cercare altri due vettori tali che:

$ <( ( 1/sqrt3 ),( 1/sqrt3 ),( 0 ),( 0 ) )| ( ( a ),( b ),( c ),( d ) )> =<( ( 0 ),( 0 ),( 1/2 ),( 1/2 ) )| ( ( a ),( b ),( c ),( d ) )> $

In base alla definizione del prodotto scalare $b$, metto a sistema e risolvendo ottengo:

$ ( ( a ),( b ),( c ),( d ) )=b( ( -1/2 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) )+c ( ( (3sqrt3)/4 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) )+d( ( (3sqrt3)/4 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $

ma di questi, solo il primo è ortogonale ai primi due che costituiscono la base...
Ad ogni modo, la base può essere completata anche a occhio. Per semplicità nel conti a seguire, ho completato la base con i vettori $(0,0,1,-1)^t$ e $(0,0,-1,1)^t$ normalizzati:

$ B_S={( ( 1/sqrt3 ),( 1/sqrt3 ),( 0 ),( 0 ) ), ( ( 0 ),( 0),( 1/2 ),( 1/2 ) ),( (0 ),( 0 ),( 1/sqrt2 ),( -1/sqrt2 ) ),( ( 0 ),( 0 ),( -1/sqrt2 ),( 1/sqrt2 ) )} $

A questo punto la matrice della proiezione ortogonale è:

$ M_pi=B_SB_S^t=( ( 1/3 , 1/3 , 0 , 0 ),( 1/3 , 1/3 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 5/4 , -3/4 ),( 0 , 0 , -3/4 , 5/4 ) ) $

Studio autovalori e autovettori:

$ det( ( 1/3-lambda , 1/3 , 0 , 0 ),( 1/3 , 1/3-lambda , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 5/4-lambda , -3/4 ),( 0 , 0 , -3/4 , 5/4-lambda ) ) =1/6lambda(3lambda-2)(2lambda-1)(lambda-2) $

Da cui gli autovalori sono: $lambda_1=0$, $lambda_2=2$, $lambda_3=2/3$, $lambda_4=1/2$.
Sostituendo $lambda$ nella matrice $M_pi-lambdaI$ e mettendo a sistema, ottengo gli autovettori:

$ ( ( -1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ), ( ( 0 ),( 0 ),( -1 ),( 1 ) ) ,( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ),( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 1 ) ) $

che normalizzati mi forniscono la base

$ B_pi={( ( -1/sqrt3 ),( 1/sqrt3 ),( 0 ),( 0 ) ), ( ( 0 ),( 0 ),( -1/sqrt2 ),( 1/sqrt2 ) ) ,( ( 1/sqrt3 ),( 1/sqrt3 ),( 0 ),( 0 ) ),( ( 0 ),( 0 ),( 1/sqrt6 ),( 1/sqrt6 ) )} $

E' corretto?

[dissonance]

Non capisco cosa tu abbia fatto. Hai già due vettori:
\[
v_1=
\begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{3}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
\qquad

v_2=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac12 \\ \frac12 \end{bmatrix}.

\]
Adesso per completare ad una base di \(\mathbb R^4\) devi considerare la base canonica \(e_1=(1,0,0,0)^T, e_2=(0,1,0,0)^T,\ldots\), formare l’insieme
\[
\{v_1, v_2, e_1, e_2, e_3, e_4\}\]
ed estrarre da esso una base di \(\mathbb R^4\). Fatto ciò, occorre applicare Gram-Schmidt per assicurarsi che tale base sia ortonormale (ma in realtà è sufficiente che sia ortogonale, non serve normalizzare).

Alla fine di questo procedimento avrai una base \(\{v_1, v_2, v_3, v_4\}\) di \(\mathbb R^4\) tale che \(S\) è generato da \(v_1, v_2\), e \(\pi\) è la proiezione ortogonale su \(S\). Di conseguenza,
\[
\pi(v_1)=v_1,\ \pi(v_2)=v_2,\ \pi(v_3)=0,\ \pi(v_4)=0.\]
E da qui puoi leggere direttamente autovalori ed autovettori.

[BRN1]

In effetti non ha senso quello che ho fatto, tendo sempre a non considerare il fatto che una proiezione ortogonale abbia autovalori pari a 1 e 0...

Ad ogni modo, unendo ai vettori già trovati al punto b) quelli della base canonica in $R^4$, ottengo per $S$

$ B_S={( ( 1/sqrt3 ),( 1/sqrt3 ),( 0 ),( 0 ) ), ( ( 0 ),( 0),( 1/2 ),( 1/2 ) ),( (1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ),( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) )} $

applicando Gram Schmidt mi assicuro l'ortogonalità, ottenendo

$ v_1=( ( 1/sqrt3 ),( 1/sqrt3 ),( 0 ),( 0 ) ), v_2=( ( 0 ),( 0 ),( 1/2 ),( 1/2 ) ), v_3=( ( 1/3 ),( -2/3 ),( 0 ),( 0 ) ), v_4=( ( 0 ),( 0 ),( 1/2 ),( -1/2 ) ) $

Essendo $S$ generato da $v_1$ e $v_2$, la proiezione riferita a questi due ha autovalore 1, mentre per gli altri autovalore 0

\[ \pi(v_1)=v_1,\ \pi(v_2)=v_2,\ \pi(v_3)=0,\ \pi(v_4)=0. \]

ne segue che $v_1$ e $ v_2$ sono anche gli autovettori cercati e quindi la base sarà

$ B_S^(_|_ )={( ( 1/sqrt3 ),( 1/sqrt3 ),( 0 ),( 0 ) ),( ( 0 ),( 0 ),( 1/2 ),( 1/2 ) )} $