Esercizio su operatore lineare
salve a tutti
ho questo esercizio:
sia $T$ l'operatore lineare su $RR^2$ definito da $T(x,y)=(x+2y,3x+4y)$. Trovare la formula per $f(t)$ dove $f(t)=t^2+2t-3$
Non capisco cosa fare,perche il risultato dell'esercizio non è una parabola traformata,ma un'altra applicazione lineare $T(x,y)=(6x+14y,21x+27y)$
qualcuno potrebbe darmi qualche consiglio?
ho questo esercizio:
sia $T$ l'operatore lineare su $RR^2$ definito da $T(x,y)=(x+2y,3x+4y)$. Trovare la formula per $f(t)$ dove $f(t)=t^2+2t-3$
Non capisco cosa fare,perche il risultato dell'esercizio non è una parabola traformata,ma un'altra applicazione lineare $T(x,y)=(6x+14y,21x+27y)$
qualcuno potrebbe darmi qualche consiglio?
Risposte
Mi sembra che l'esercizio non sia espresso nel modo giusto.
Dovresti riscrivere in maniera precisa la traccia o almeno dovresti spiegare per bene il contesto in cui ti trovi (da dove hai preso l'esercizio, a proposito di quale argomento, ecc.)
Vuoi sapere la formula di una funzione $f(t)$? Che significa?
Lo so che non è bello rispondere ad una domanda con un ulteriore domanda, ma personalmente non ho la minima idea su che tipo di richiesta possa essere.
Dovresti riscrivere in maniera precisa la traccia o almeno dovresti spiegare per bene il contesto in cui ti trovi (da dove hai preso l'esercizio, a proposito di quale argomento, ecc.)
Vuoi sapere la formula di una funzione $f(t)$? Che significa?
Lo so che non è bello rispondere ad una domanda con un ulteriore domanda, ma personalmente non ho la minima idea su che tipo di richiesta possa essere.
infatti ti do pienamente ragione,uno dei motivi per cui vi ho scritto è proprio questo,l'esercizio ha proprio questo testo:
per questo ho scritto anche il risultato,per avere qualche input in piu,il risultato sarebbe questo:$T(x,y)=(6x+14y,21x+27y)$
l'esercizio poi fa riferimento ad un altra formula da trovare in base alla stessa applicazione lineare e questa volta con $f(t)=t^2-5t-2$ e il risultato associato è "$T(x,y)=(0,0)$ cioè $f(T)=0$"
il libro si chiama "Algebra lineare" di Marc Lipson e questo è un capitolo sull'algebra degli operatori lineari
qualche idea?
"cappellaiomatto":
sia $T$ l'operatore lineare su $RR^2$ definito da $T(x,y)=(x+2y,3x+4y)$. Trovare la formula per $f(t)$ dove $f(t)=t^2+2t-3$
per questo ho scritto anche il risultato,per avere qualche input in piu,il risultato sarebbe questo:$T(x,y)=(6x+14y,21x+27y)$
l'esercizio poi fa riferimento ad un altra formula da trovare in base alla stessa applicazione lineare e questa volta con $f(t)=t^2-5t-2$ e il risultato associato è "$T(x,y)=(0,0)$ cioè $f(T)=0$"
il libro si chiama "Algebra lineare" di Marc Lipson e questo è un capitolo sull'algebra degli operatori lineari
qualche idea?
Aaaah, ho capito, l'esercizio vuole che che tu calcoli $f(T)=T^2+2T-2I$...
Scusa adesso sto uscendo (sono già in super-ritardo!), domani, se nessun altro utente è intervenuto, ti spiego meglio...ciao!
Scusa adesso sto uscendo (sono già in super-ritardo!), domani, se nessun altro utente è intervenuto, ti spiego meglio...ciao!
grazie per l'input ora ho capito pure io!
però mi sembra strano che un esercizio del genere debba avere un testo cosi
però mi sembra strano che un esercizio del genere debba avere un testo cosi
Mi permetto di intervenire io nel frattempo, spero che cirasa non se la prenda 
In pratica l'esercizio ti chiede di determinare l'espressione dell'applicazione $f(T)$ ottenuta applicando $f$ all'endomorfismo $T$ che ti assegna l'esercizio.
Sai inoltre che $f(T)=T^2+2T-3$.
Ora $f(T)$ è una funzione, quindi non ti resta che studiarne il comportamento sui vettori di una base (quella canonica magari!) e calcolare $f(T)(e_1)$ e $f(T)(e_2)$.
L'ultima cosa che ti serve ricorcare è che $T$ è lineare, quindi $(T^2+2T-3)(e_i)=T^2(e_i)+2T(e_i)-3Id(e_i)$ ed il resto vien da sè.
Edit: scusami non avevo visto il tuo post!
In pratica l'esercizio ti chiede di determinare l'espressione dell'applicazione $f(T)$ ottenuta applicando $f$ all'endomorfismo $T$ che ti assegna l'esercizio.
Sai inoltre che $f(T)=T^2+2T-3$.
Ora $f(T)$ è una funzione, quindi non ti resta che studiarne il comportamento sui vettori di una base (quella canonica magari!) e calcolare $f(T)(e_1)$ e $f(T)(e_2)$.
L'ultima cosa che ti serve ricorcare è che $T$ è lineare, quindi $(T^2+2T-3)(e_i)=T^2(e_i)+2T(e_i)-3Id(e_i)$ ed il resto vien da sè.
Edit: scusami non avevo visto il tuo post!
"mistake89":
Mi permetto di intervenire io nel frattempo, spero che cirasa non se la prenda
No, anzi...speravo che qualcuno mi aiutasse. Grazie!
Dunque, mi pare che abbiamo compreso quello che si richiedeva.
La mia impressione è che il testo dell'esercizio sia stato tradotto male dall'inglese oppure nel libro il contesto chiariva la richiesta.
Due osservazioni:
1) Una tecnica diversa per la risoluzione consisteva nel determinare la matrice associata a $T$ (rispetto alla base canonica) ottenendo $A=((1,3),(2,4))$
[mi riferisco all'endomorfismo del primo messaggio di "cappellaiomatto"].
Allora la matrice associata a $f(T)$ rispetto alla base canonica è $B=f(A)=A^2+2A-3I=((6,21),(14,27))$ da cui si ottiene facilmente l'espressione di $f(T)$.
2) Una piccola precisazione su quanto afferma Mistake:
"mistake89":
...
L'ultima cosa che ti serve ricorcare è che $T$ è lineare, quindi $(T^2+2T-3)(e_i)=T^2(e_i)+2T(e_i)-3Id(e_i)$
...
Questa uguaglianza dipende dalla definizione di $T^2+2T-I$ (ovvero dalla definizione delle operazioni di composizione [tex]\circ[/tex] e addizione [tex]+[/tex] in [tex]End_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}^2)[/tex] che diviene un'algebra su [tex]\mathbb{R}[/tex]).
La linearità di $T$ non interviene.
Hai ragione 
Grazie per l'appunto!
PS Avevo iniziato pure io quello con le matrici ma non mi veniva, dannati calcoli!
Grazie per l'appunto!PS Avevo iniziato pure io quello con le matrici ma non mi veniva, dannati calcoli!
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