Esercizio su omomorfismo

[_Daniele_]

Sia dato l'omomorfismo $ f: R^3 rarr R^4 $ così definito:

$ f(a,b,c) = b+(a+b+2c)x+(2a+b+4c)x^2+2bx^3 $ .

1) Determinare la matrice rappresentativa di $ f $ rispetto alle basi canoniche di $ R^3 $ e $ R^4 [x] $ .

Ci sono altre richieste ma per il momento mi fermo qui.

Ho determinato le basi di:

$ R^3 : (1, 0, 1) , (1, 0, 0) , (1, 1, 1) $ .

$ R^4 : (1, 0, 0, 0) , (1, 0, 0, 1) , (0, 0, 1, 0) , (1, 1, 0, 1) $ .

Ora, per trovare l'immagine di $ R^3 $ dovrei sostituire i vettori nell'applicazione lineare. Così facendo però mi escono delle espressioni in $ x $ . Sono leggermente nel pallone .

[Werner1]

$R^4[x]$ dovrebbe essere lo spazio dei polinomi reali di grado 3, una base è ${1,x,x^2,x^3}$. Essendo di dimensione 4 questo è isomorfo a $R^4$, puoi quindi prendere la base canomica ${(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}$.
Su $R^3$ prendi la base canonica ${(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$, ora scrivi la matrice associata si ottiene valutando f sulla base di $R^3$, trovi
$$\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 2 \\
2 & 1 & 4 \\
0 & 2 & 0 \\
\end{pmatrix}$$

[_Daniele_]

"Werner":$R^4[x]$ dovrebbe essere lo spazio dei polinomi reali di grado 3, una base è ${1,x,x^2,x^3}$. Essendo di dimensione 4 questo è isomorfo a $R^4$, puoi quindi prendere la base canomica ${(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}$.
Su $R^3$ prendi la base canonica ${(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$, ora scrivi la matrice associata si ottiene valutando f sulla base di $R^3$, trovi
$$\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 2 \\
2 & 1 & 4 \\
0 & 2 & 0 \\
\end{pmatrix}$$

Sei stato chiarissimo, grazie mille

2) Determina $ f^(-1) $ $ (1+2x+3x^2+2x^3) $

Faccio il sistema, utilizzando l'applicazione lineare, mettendo come termini noti i coefficienti della $f^(-1) $ giusto?

[Werner1]

Se mi stai chiedendo se devi trovare $(a,b,c)$ tali che $f(a,b,c)=(1,2,3,2)$, allora sì