Esercizio su numeri complessi
Buonasera a tutti,
questo è il primo messaggio che scrivo in questo forum e spero di non aver sbagliato sezione. Sto cercando di risolvere un esercizio in preparazione dell'esame di Geometria e Algebra lineare.
Oggi ho risolto alcuni esercizi sul calcolo di radici complesse, ma mi son bloccato su un esercizio che non riesco a impostare correttamente.
Il testo è il seguente:
determinare i numeri complessi z, con $ z != -1 $ , tali che il numero complesso $ w = (z - i) / (z + i) $ abbia modulo minore o uguale a 1: |w| $ leq $ 1
Dunque, ho pensato di lavorare su $ (z - i)/(z + i) $ per portarlo alla forma cartesiana "a + ib", e poi impostare la disequazione $ sqrt(a^2+b^2) leq 1 $ .
Razionalizzo il denominatore moltiplicando e dividendo per (z - i) e ottengo $ w = 1 - (2zi) / (z^2 - 1) $
Poi prendo $ a = 1 $ e $ b = (2z) / (z^2 - 1) $ , imposto la disequazione e provo a risolvere, ma qui mi blocco. Non ho idea di quale sia il risultato perchè non ce l'ho, io normalmente per trovare le radici complesse di un'equazione uso la formula di De Moivre con zk = r^(1/n) [cos....]....questo tipo di esercizio non l'ho mai affrontato e insomma, non riesco a cavarne piede. Sono sicuro che sia una stupidaggine, mi sembra anche di averla vista risolta tempo fa ma non mi ricordo il procedimento. Qualcuno mi può dare una mano?
Grazie
questo è il primo messaggio che scrivo in questo forum e spero di non aver sbagliato sezione. Sto cercando di risolvere un esercizio in preparazione dell'esame di Geometria e Algebra lineare.
Oggi ho risolto alcuni esercizi sul calcolo di radici complesse, ma mi son bloccato su un esercizio che non riesco a impostare correttamente.
Il testo è il seguente:
determinare i numeri complessi z, con $ z != -1 $ , tali che il numero complesso $ w = (z - i) / (z + i) $ abbia modulo minore o uguale a 1: |w| $ leq $ 1
Dunque, ho pensato di lavorare su $ (z - i)/(z + i) $ per portarlo alla forma cartesiana "a + ib", e poi impostare la disequazione $ sqrt(a^2+b^2) leq 1 $ .
Razionalizzo il denominatore moltiplicando e dividendo per (z - i) e ottengo $ w = 1 - (2zi) / (z^2 - 1) $
Poi prendo $ a = 1 $ e $ b = (2z) / (z^2 - 1) $ , imposto la disequazione e provo a risolvere, ma qui mi blocco. Non ho idea di quale sia il risultato perchè non ce l'ho, io normalmente per trovare le radici complesse di un'equazione uso la formula di De Moivre con zk = r^(1/n) [cos....]....questo tipo di esercizio non l'ho mai affrontato e insomma, non riesco a cavarne piede. Sono sicuro che sia una stupidaggine, mi sembra anche di averla vista risolta tempo fa ma non mi ricordo il procedimento. Qualcuno mi può dare una mano?
Grazie
Risposte
Secondo me ti conviene ragionare geometricamente. Scrivi
$|z-i| <= |z-(-i)|$;
in questa maniera la tua disuguaglianza è diventata una disuguaglianza tra due distanze. Qual è il luogo dei punti del piano complesso che distano meno da $i$ che da $-i$?
$|z-i| <= |z-(-i)|$;
in questa maniera la tua disuguaglianza è diventata una disuguaglianza tra due distanze. Qual è il luogo dei punti del piano complesso che distano meno da $i$ che da $-i$?
Prima di tutto grazie per la celere risposta.
Non capisco però il tuo suggerimento...puoi spiegarti meglio?
Non capisco però il tuo suggerimento...puoi spiegarti meglio?
Lui dice che $|w|=(|z-i|)/(|z+i|)<=1$ da cui ottieni $|z-i|<=|z+i|=|z-(-i)|$ tutto ovviamente con $z!=-i$. Questo per il primo passaggio.
Per il secondo dice $|a-b|$ rappresenta la distanza tra $a$ e $b$;
allora i $z$ che rispettano quella disequazione sono il luogo dei $z$ che hanno distanza maggiore da $-i$ che da $i$.
@dissonance: scusa disso mi trovavo in zona e ho risposto.
Per il secondo dice $|a-b|$ rappresenta la distanza tra $a$ e $b$;
allora i $z$ che rispettano quella disequazione sono il luogo dei $z$ che hanno distanza maggiore da $-i$ che da $i$.
@dissonance: scusa disso mi trovavo in zona e ho risposto.
mi trovavo in zona e ho rispostoE hai fatto bene.
Scusate non ho specificato bene.
Il suggerimento l'ho capito, non sono sicuro di saperlo sfruttare come si deve. Se io disegno i due numeri complessi $ -i $ e $ i $ sul piano di Gauss ottengo due vettori con parte reale nulla e parte immaginaria $ pm 1 $ , quindi due vettori sull'asse delle ordinate opposti tra loro e di modulo 1.
Il luogo dei punti del piano che distano meno da $ i $ che da $ -i $ non è il semipiano superiore?
Il suggerimento l'ho capito, non sono sicuro di saperlo sfruttare come si deve. Se io disegno i due numeri complessi $ -i $ e $ i $ sul piano di Gauss ottengo due vettori con parte reale nulla e parte immaginaria $ pm 1 $ , quindi due vettori sull'asse delle ordinate opposti tra loro e di modulo 1.
Il luogo dei punti del piano che distano meno da $ i $ che da $ -i $ non è il semipiano superiore?
Si.
$z=a+ib$
$|z-i|<=|z-(-i)|$
elevi al quadrato ed ottieni
$a^2+b^2+1-2b<=a^2+b^2+1+2b$
$-2b<=2b$ vera per $b>=0$
$z=a+ib$
$|z-i|<=|z-(-i)|$
elevi al quadrato ed ottieni
$a^2+b^2+1-2b<=a^2+b^2+1+2b$
$-2b<=2b$ vera per $b>=0$
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