Esercizio su nucleo e immagine di un'applicazione lineare

[daniele912]

Salve a tutti!
In questi giorni stavo affrontando lo studio dei sistemi lineari e ho incontrato qualche difficoltà nel calcolo del nucleo e dell'immagine di una matrice. Ho cercato diversi post molto istruttivi su questo sito e ho svolto un esercizio che vorrei postare per avere conferma di aver compreso l'argomento.
L'esercizio chiede di trovare la dimensione e la base del nucleo e dell'immagine della seguente matrice:
$A = ( ( 2 , 1, -1, -1),( 1, 0, 0, 1),( 0, 1, 1, 1),( 1, 2, 1, 1) ) $

Ho eseguito la riduzione in scala della matrice e ho ottenuto la matrice equivalente:

$ S = ( ( 2 , 1, -1, -1),( 0, 1, -1, -3),( 0, 0, 2, 4),(0, 0, 0, 0) ) $

Ho trovato il $Ker A$ risolvendo il sistema $Sx = 0$ ottenendo che una base del nucleo di A è data da ${-1,1,-2,1}$ e che la dimensione $dim Ker A = 1$ .
Una base dell'immagine è rappresentata dalle prime 3 colonne di $A$ e dunque da ${A^1, A^2, A^3} $ e si ha che $dim Im A = rg A = 3$. Spero di non aver scritto qualche sciocchezza.
Grazie a tutti in anticipo!

[Camillo]

Corretto

[daniele912]

Grazie mille della risposta!