Esercizio su nucleo e immagine di una applicazione lineare
Salve, premetto che è la prima volta che scrivo sul forum e ringrazio anticipatamente chiunque mi aiuti a risolvere questo semplice problema.
allora ho un applicazione lineare $f:R^4->R^2$. La matrice associata all'applicazione è $((2,0,1,5),(-4,5,0,-2))$. A questo punto riduco la matrice (gauss) per conoscere la dimensione del nucleo e dell'immagine. Quello che non riesco a fare, è determinare il nucleo ( e quindi l'immagine ) dell'applicazione. Qualcuno può spiegarmelo in modo da capire il procedimento? sul libro il risultato è ad esempio $Ker f = Span(a,b,c,d) ... $ Grazie in anticipo...[/tex]
allora ho un applicazione lineare $f:R^4->R^2$. La matrice associata all'applicazione è $((2,0,1,5),(-4,5,0,-2))$. A questo punto riduco la matrice (gauss) per conoscere la dimensione del nucleo e dell'immagine. Quello che non riesco a fare, è determinare il nucleo ( e quindi l'immagine ) dell'applicazione. Qualcuno può spiegarmelo in modo da capire il procedimento? sul libro il risultato è ad esempio $Ker f = Span(a,b,c,d) ... $ Grazie in anticipo...[/tex]
Risposte
poichè hai la matrice associata, sai come opera la $f$
perciò potresti applicare semplicemente l'equazione $f(x,y,z,t)=0$
prova a fare come ti ho detto.
Io in spoiler ti metto la soluzione
perciò potresti applicare semplicemente l'equazione $f(x,y,z,t)=0$
prova a fare come ti ho detto.
Io in spoiler ti metto la soluzione
Ho capito quindi si tratta di risolvere un sistema omogeneo . Ovvero se la matrice asssociata ad $f$ è $A$ allora devo risolvere $((2,0,1,5),(-4,5,0,-2)) ((x),(y),(z),(t)) =((0),(0),(0),(0))$ e cioè $A*x=0$ ? Tuttavia è il procedimento per risolverlo che non mi torna .... (sto provando adesso)...
esatto!
ok ho capito anche a me torna così. Peccato che sul testo tornino dei valori diversi.... $Span(-5,-4,10,0),(-25,16,0,10)$...
aaa che scemo che sono ho capito moltiplica per 10 solo per togliere le frazioni. Ho risolto davvero grazie mille...
prego! 
"mistake89":
poichè hai la matrice associata, sai come opera la $f$
perciò potresti applicare semplicemente l'equazione $f(x,y,z,t)=0$
prova a fare come ti ho detto.
Io in spoiler ti metto la soluzione
Ciao a tutti. Questa soluzion e mi torna tuttavia non capisco il perchè delle componenti z e t dei vettori dello $Span$. Vorrei capire con quale criterio. Anche perchè sembrano invertite nei due vettori...
Non credo di aver inteso al meglio la tua domanda...
hai chiesto di calcolare il $ker$ no? Questo è un sottospazio vettoriale di $V$, e quindi a maggior ragione un sottoinsieme. Esso quindi contiene dei vettori "particolari" di $V$, ma che pur sempre stanno in $V$, quindi sono della forma $v=(x_1,...,x_n)$
Noi siamo in $RR^4$ ed abbiamo che tutti i vettori hanno 4 componenti, anche quelli del $Ker$. Abbiamo soltanto determinato, in quella soluzione, "come devono essere" i vettori per appartenervi, ed abbiamo trovato una relazione in cui gli unici parametri che interessano sono $z$ e $t$. Riscritto tutto quanto in funzione di quest'ultimi arriviamo a ciò che ho scritto. Ovviamente lì dove originariamente c'era $z$ è rimasto $z$ ed idem per $t$, perchè abbiamo esplicitato i vettori in funzione di questi due parametri.
Spero di esser stato chiaro
hai chiesto di calcolare il $ker$ no? Questo è un sottospazio vettoriale di $V$, e quindi a maggior ragione un sottoinsieme. Esso quindi contiene dei vettori "particolari" di $V$, ma che pur sempre stanno in $V$, quindi sono della forma $v=(x_1,...,x_n)$
Noi siamo in $RR^4$ ed abbiamo che tutti i vettori hanno 4 componenti, anche quelli del $Ker$. Abbiamo soltanto determinato, in quella soluzione, "come devono essere" i vettori per appartenervi, ed abbiamo trovato una relazione in cui gli unici parametri che interessano sono $z$ e $t$. Riscritto tutto quanto in funzione di quest'ultimi arriviamo a ciò che ho scritto. Ovviamente lì dove originariamente c'era $z$ è rimasto $z$ ed idem per $t$, perchè abbiamo esplicitato i vettori in funzione di questi due parametri.
Spero di esser stato chiaro
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo