Esercizio su matrici invertibili e diagonali

[lucafiero]

Ciao a tutti, oggi vi pongo un quesito riguardante una consegna non molto chiara di un esercizio:

Si considerino le matrici a elementi reali

A = $((2,2),(1,3))$
B = $((4,2),(3,3))$
C = $((5,-1),(1,3))$

Determinare delle matrici quadrate invertibili M, N, P tali che M^(-1)AM, N^(-1)BN, P^(-1)CP siano diagonali.

NB: M^(-1) inversa di M ecc

Come posso procedere? Ho provato ad impostarlo, ma si vede che ancora non sono molto brava...

Grazie mille in anticipo
:*

[Magma1]

"pitcka.sorreta":Ciao a tutti, oggi vi pongo un quesito riguardante una consegna non molto chiara di un esercizio:

Si considerino le matrici a elementi reali

A = $((2,2),(1,3))$

Determinare delle matrici quadrate invertibili M, N, P tali che M^(-1)AM, N^(-1)BN, P^(-1)CP siano diagonali.

Ciao, ti aiuto con la matrice $A$

Sai che:
- due matrici $A, B$ si dicono simili se $EE P in GL_(R)$ tale che $A=P^(-1)BP$,
- una matrice diagonalizzabile è simile a una matrice diagonale,
- $M_(F, F)(f)$, dove $mathcal (F)$ è una base fatta di autovettori, è una matrice diagonale (avente sulla diagonale principale i rispettivi autovalori)

Prima di tutto occorre diagonalizzare $A$: per farlo dobbiamo trovarci una base di autovettori, il che equivale a cercare gli autovalori di $A$, cercando il polinomio caratteristico:

$det(A-lambdaI)=0 hArr ((2-lambda,2),(1,3-lambda))=(2-lambda)(3-lambda)-2=$

$=lambda^2 -3lambda-2lambda +6 -2=lambda^2-5lambda+4=(1-lambda)(4-lambda)=0$

$hArr lambda_1=1, lambda_2=4$

Possiamo dire con certezza che la nostra matrice $A$ è diagonalizzabile[nota]Infatti una funzione $f:V->V$, con $dim(V)=n$, se $EE n \text{ autovalori distinti } rArr \text{ f è diagonalizzabile }$[/nota].

Ora però dobbiamo cercare i relativi autovettori:

lambda=1

$[((2,2),(1,3)) -((1,0),(0,1))]((x),(y))=((1,2),(1,2))((x),(y))=((0),(0))$

$hArr x=2y hArr y((2),(1)) rArr ((2),(1))$ è l'autovettore relativo a $lambda=1$.

lambda=4

$[((2,2),(1,3)) -4((1,0),(0,1))]((x),(y))=((-2,2),(1,-1))((x),(y))=((0),(0))$

$hArr x=y hArr y((1),(1)) rArr ((1),(1))$ è l'autovettore relativo a $lambda=4$.

La nostra base di autovettori è ${((2),(1)), ((1),(1))}$, chiamiamola $mathcal (F)$

e quindi $A$ è simile alla matrice diagonale $M_(F,F)(f)=((1,0),(0,4))$[nota]Gli autovalori vanno posti in modo ordinato in base all'ordine degli autovettori.[/nota].

Inoltre sappiamo anche trovarci la matrice del cambiamento di base

$M_(epsilon, F)(Id)=((2,1),(1,1))$, dove $mathcal (epsilon)=$base di $RR^2$.

In fine abbiamo che

$A=P^(-1)BP=$[nota]Le matrici del cambiamento di base sono invertibili[/nota]

$=(M_(epsilon, F)(Id))^(-1)M_(F, F)(f)M_(epsilon, F)(f)=$

$=M_(F, epsilon)(Id))M_(F, F)(f)M_(epsilon, F)=$[nota]Per la formula del cambiamento di base[/nota]$M_(F,F)(f)$

P.S. Sono solito anteporre la base del dominio a quella del codominio.