Esercizio su matrici, autospazi e basi ortonormali

[gcass]

Ho un problema con questo esercizio.



Dai punti a) e b) ho ottenuto gli autovalori della matrice che sono:
-1
-2
-6
tutti e 3 con molteplicità algebrica e geometrica pari ad 1.
Ho trovato le loro basi senza problemi

Ora però non sono sicuro della C). Dalla teoria so che se una matrice è simmetrica, ammette una base ortonormale di R^n formata dai suoi autovettori, ma A nel nostro caso non è simmetrica. Ora però la condizione del teorema spettrale non è un se e solo se, quindi in teoria non potremmo saperlo, giusto?
Cosa faccio quindi? Provo ad usare gram-smidth per ortogonalizzare la base ottenuta e vedere se ci riesco e poi normalizzo i vettori?
Inoltre c'è un motivo teorico per capire se questo è possibile o no?

Le basi degli autospazi ottenuti sono (nello stesso ordine degli autovali associate e separo le entrate con la virgola):

B_1 = { ( -1 , 1 ,1 )}
B_2 = { ( 0, 0, 1)}
B_3 = {( 16, 4 , -1)}

Mentre la base finale è

[img]https://i.imgur.com/Qwokfeu.jpg?1[/img]

[anonymous_0b37e9]

Per quanto riguarda il punto (c), si può procedere per assurdo. Se esistesse una base ortonormale di $RR^3$ formata da autovettori di $A$ allora, rispetto alla medesima base ortonormale:

$((bary_1,bary_2,bary_3))((\lambda_1,0,0),(0,\lambda_2,0),(0,0,\lambda_3))((barx_1),(barx_2),(barx_3))$

Tuttavia, rispetto alla base naturale:

$((y_1,y_2,y_3))((b_(11),b_(12),b_(13)),(b_(21),b_(22),b_(23)),(b_(31),b_(32),b_(33)))((\lambda_1,0,0),(0,\lambda_2,0),(0,0,\lambda_3))((b_(11),b_(21),b_(31)),(b_(12),b_(22),b_(32)),(b_(13),b_(23),b_(33)))((x_1),(x_2),(x_3))=$

$=((y_1,y_2,y_3))((b_(11),b_(12),b_(13)),(b_(21),b_(22),b_(23)),(b_(31),b_(32),b_(33)))((\lambda_1b_(11),\lambda_1b_(21),\lambda_1b_(31)),(\lambda_2b_(12),\lambda_2b_(22),\lambda_2b_(32)),(\lambda_3b_(13),\lambda_3b_(23),\lambda_3b_(33)))((x_1),(x_2),(x_3))=$

$=((y_1,y_2,y_3))((a_(11),a_(12),a_(13)),(a_(21),a_(22),a_(23)),(a_(31),a_(32),a_(33)))((x_1),(x_2),(x_3))$

$A$ dovrebbe essere simmetrica:

$a_(12)=a_(21)=\lambda_1b_(11)b_(21)+\lambda_2b_(12)b_(22)+\lambda_3b_(13)b_(23)$

$a_(13)=a_(31)=\lambda_1b_(11)b_(31)+\lambda_2b_(12)b_(32)+\lambda_3b_(13)b_(33)$

$a_(23)=a_(32)=\lambda_1b_(21)b_(31)+\lambda_2b_(22)b_(32)+\lambda_3b_(23)b_(33)$

In definitiva, non esiste una base ortonormale di $RR^3$ formata da autovettori di $A$. Ovviamente, si presume che sia possibile rispondere alla domanda senza dover ripetere tutta la dimostrazione. Altrimenti, conviene senz'altro calcolare gli autospazi e verificare a occhio che non possono essere mutuamente ortogonali. Tra l'altro, quando hai tre autovalori distinti, è inutile procedere utilizzando Gram-Schmidt. Delle due l'una: i tre autospazi sono già mutuamente ortogonali oppure non possono essere resi tali. Infatti:

$[\lambda_1=-6] rarr [vecv=((a),(4a),(-a))]$

$[\lambda_1=-2] rarr [vecv=((0),(0),(b))]$

$[\lambda_1=-1] rarr [vecv=((-c),(c),(c))]$

Tuttavia, dovendo motivare la risposta, è molto probabile che si dovesse procedere mediante argomentazioni di carattere generale.