Esercizio su matrice con parametri

[Mikepicker]

Salve,

mi trovo di fronte al seguente quesito:

Per quali valori di k il vettore $((5),(5k),(8))$ è una combinazione lineare delle colonne di A = $((1,1,1,1),(k,2,2,0),(k,1,0,0))$

Potreste farmi capire come impostare il problema?

Grazie

[cirasa]

Le colonne di $A$ sono 4 vettori di $RR^3$ e generano un sottospazio $W_k$ di $RR^3$. Il problema consiste nel capire come è fatto $W_k$ al variare del parametro $k$ e, in particolare, si vuole sapere se, al variare di $k$, il vettore $((5),(5k),(8))$ appartiene a $W_k$.

Inizia col chiederti che dimensione ha $W_k$? Cosa si può concludere?

[Mikepicker]

Non posso applicare Rouché - Capelli per vedere se il sistema è risolubile?

[cirasa]

Sì, va benissimo.

[Mikepicker]

Ok.. mi trovo che il rango della matrice di sistema è uguale a quella completa indipendentemente dal parametro.. infatti il minore $((1,1,1),(2,2,0),(1,0,0))$ ha determinante diverso da zero. E' corretto ciò che dico o manca qualcosa?

[cirasa]

Ciò che dici è corretto. Da cui concludi che...

[Mikepicker]

Per ogni valore di k appartenente a $RR$ il vettore si può esprimere come combinazione lineare delle colonne della matrice $A$?

[cirasa]

Perfetto. Fine.

Nel mio primo post, ti avevo suggerito ti guardare al sottospazio $W_k$, perchè visto che $A$ ha rango sempre $3$, allora per ogni $k$ la dimensione di $W_k$ è $3$, quindi $W_k=RR^3$. Perciò ogni vettore di $RR^3$ è in $W_k$, cioè ogni vettore si scrive come combinazione lineare delle colonne di $A$. In particolare, anche il tuo vettore iniziale è combinazione lineare delle colonne di $A$, indipendentemente da $k$.

Ciao, buono studio!

[Mikepicker]

Ah ho capito!

Grazie davvero!

[cirasa]

You're welcome!