Esercizio su matrice associata
Ciao a tutti, sono nuova del forum, ho iniziato da poco il corso di algebra lineare ed ho trovato questo esercizio:
Data l'applicazione lineare $f: R^4->R^4$ e la matrice $A$ associata ad $f$ nel riferimento $E$:
$A=((3,0,4,0),(12,-3,22,8),(-2,0,-3,0),(8,0,14,2))$
si calcoli la corrispondente matrice $A'$ associata ad $f$ nel riferimento $R$.
Come si procede per trovare la matrice associata?
Data l'applicazione lineare $f: R^4->R^4$ e la matrice $A$ associata ad $f$ nel riferimento $E$:
$A=((3,0,4,0),(12,-3,22,8),(-2,0,-3,0),(8,0,14,2))$
si calcoli la corrispondente matrice $A'$ associata ad $f$ nel riferimento $R$.
Come si procede per trovare la matrice associata?
Risposte
Benvenuta Claudia. Non ti sono dati i riferimenti $R$ ed $E$?
Ciao Seneca e grazie per il benvenuto. Nello spazio vettoriale $R^4$ mi sono dati i seguenti vettori: $v1=(1,2,0,0)$, $v2=(0,-1,2,1)$, $v3=(1,0,0,1)$, $v4(0,1,-3,-1)$ , come calcolo la matrice associata A'?
Immagino che il riferimento $E$ sia quello canonico, cioè $e_1 , e_2 , e_3 , e_4$.
Sai la definizione di applicazione lineare associata ad una matrice?
Ad ogni modo devi capire dove vengono mandati -tramite $f$- i vettori del nuovo riferimento $R$ di $RR^4$.
$f(v_i) = A v_i$ , $i = 1, 2 , 3 , 4$.
A questo punto basta scrivere $f(v_i)$ come combinazione lineare dei vettori della nuova base $R$ di $RR^4$.
Prova a scrivere tu il resto. Se hai dubbi chiedi.
Sai la definizione di applicazione lineare associata ad una matrice?
Ad ogni modo devi capire dove vengono mandati -tramite $f$- i vettori del nuovo riferimento $R$ di $RR^4$.
$f(v_i) = A v_i$ , $i = 1, 2 , 3 , 4$.
A questo punto basta scrivere $f(v_i)$ come combinazione lineare dei vettori della nuova base $R$ di $RR^4$.
Prova a scrivere tu il resto. Se hai dubbi chiedi.
Ciao Seneca, il riferimento E è quello canonico. Ho seguito questo procedimento:
per calcolare la matrice nel nuovo sistema di riferimento devo trovare la matrice B tale che:
$Ae1=b11v1+b12v2+b13v3+b14v4$
$Ae2=b21v1+b22v2+b23v3+b24v4$
$Ae3=b31v1+b32v2+b33v3+b34v4$
$Ae4=b41v1+b42v2+b43v3+b44v4$
dove Ae1, Ae2, Ae3, Ae4 sono le colonne della matrice A data.
Quindi partendo dalla prima equazione ho calcolato:
$Ae1=b11v1+b12v2+b13v3+b14v4$ = $((b11,0,b13,0),(2b11,-b12,0,b14),(0,2b12,0,-3b14),(0,b12,b13,-b14))$
ed ho ottenuto il sistema:
$\{(b11+b13=3),(2b11-b12+b14=12),(2b12-3b14=-2),(b12+b13-b14=8):}$ la cui soluzione è: $\{(b11=17),(b12=68),(b13=14),(b14=46):}$ che rappresenta la prima riga della matrice B.
Una volta calcolate tutte le righe della matrice B con lo stesso procedimento, basta fare la trasposta della matrice B per ottenere la matrice A' associata ad f nel riferimento R.
Spero di non aver commesso errori, attendo una conferma o chiarimento, grazie..
per calcolare la matrice nel nuovo sistema di riferimento devo trovare la matrice B tale che:
$Ae1=b11v1+b12v2+b13v3+b14v4$
$Ae2=b21v1+b22v2+b23v3+b24v4$
$Ae3=b31v1+b32v2+b33v3+b34v4$
$Ae4=b41v1+b42v2+b43v3+b44v4$
dove Ae1, Ae2, Ae3, Ae4 sono le colonne della matrice A data.
Quindi partendo dalla prima equazione ho calcolato:
$Ae1=b11v1+b12v2+b13v3+b14v4$ = $((b11,0,b13,0),(2b11,-b12,0,b14),(0,2b12,0,-3b14),(0,b12,b13,-b14))$
ed ho ottenuto il sistema:
$\{(b11+b13=3),(2b11-b12+b14=12),(2b12-3b14=-2),(b12+b13-b14=8):}$ la cui soluzione è: $\{(b11=17),(b12=68),(b13=14),(b14=46):}$ che rappresenta la prima riga della matrice B.
Una volta calcolate tutte le righe della matrice B con lo stesso procedimento, basta fare la trasposta della matrice B per ottenere la matrice A' associata ad f nel riferimento R.
Spero di non aver commesso errori, attendo una conferma o chiarimento, grazie..
Grazie Sergio, la soluzione dell'esercizio è mediante l'applicazione della formula $A′=N−1AN$ . Infatti per fare una verifica finale ho calcolato gli autovalori delle due matrici $A$ e $A'$ e risultano essere uguali. Grazie dell'aiuto, a presto.
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