Esercizio su linee di curvatura e geodetiche
Ho un esercizio di geometria differenziale in cui non so bene come muovermi.
Sia S una superficie regolare e C una curva regolare su S.
Mostrare che se C è una linea di curvatura ed una geodetica allora è una curva piana.
Dovrei quindi mostrare che C ha torsione nulla: ho pensato di far vedere che la derivata prima del vettore binormale è nulla, ma non riesco ad usaere le ipotesi di C linea di curvatura e geodetica.
Sia S una superficie regolare e C una curva regolare su S.
Mostrare che se C è una linea di curvatura ed una geodetica allora è una curva piana.
Dovrei quindi mostrare che C ha torsione nulla: ho pensato di far vedere che la derivata prima del vettore binormale è nulla, ma non riesco ad usaere le ipotesi di C linea di curvatura e geodetica.
Risposte
SUGGERIMENTO:
1) Prova a riflettere sul parametrizzare $C$ secondo ascissa curvilinea ($\alpha(s)$).
2) Essendo $C$ una linea di curvatura allora vale il teorema di Olinde Rodrigues.
3) Essendo $C$ anche una geodetica, il vettore accelerazione (che coincide con il vettore curvatura se la si parametrizza secondo ascissa curvilinea) deve essere normale alla superficie $S$.
Se hai problemi chiedi!
1) Prova a riflettere sul parametrizzare $C$ secondo ascissa curvilinea ($\alpha(s)$).
2) Essendo $C$ una linea di curvatura allora vale il teorema di Olinde Rodrigues.
3) Essendo $C$ anche una geodetica, il vettore accelerazione (che coincide con il vettore curvatura se la si parametrizza secondo ascissa curvilinea) deve essere normale alla superficie $S$.
Se hai problemi chiedi!
SUGGERIMENTO 2:
la derivata della binormale può essere scritta come: $d/d_s (\alpha' xN)$, i punti 2) e 3) (sopra) permettono di verificare la torsione nulla della curva...
la derivata della binormale può essere scritta come: $d/d_s (\alpha' xN)$, i punti 2) e 3) (sopra) permettono di verificare la torsione nulla della curva...
Grazie appena riesco mi guardo per bene il teorema di Olinde Rodriguez che mi mancava!
ok! 
...se poi hai ancora bisogno di chiarimenti per la dimostrazione chiedi pure! 
Ciao
...se poi hai ancora bisogno di chiarimenti per la dimostrazione chiedi pure! Ciao
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