Esercizio su intersezione di sootspazi vettoriali
Ciao. Vi propongo un esercizio dal un appello scritto d'esame, la correzione indica che c'è stato un errore grave e ho provato a correggerlo. E' corretto tutto ciò?
Dati i tre sottospazi vettoriali di [tex]R^4[/tex]:
[tex]W1=<(1,1,-1,0),(-1,0,1,1)>[/tex]
[tex]W2=<(1,2,-1,1),(1,1,2,0)>[/tex]
[tex]W3=<(0,1,0,1),(-1,1,1,2)>[/tex]
a)Determinare [tex]W1\cap W3[/tex] e [tex]W1\cap W2[/tex].
La mia risoluzione:
Glie elementi che appartengono a W1 e W3 contemporaneamente si esprimono così [tex]a(1,1,1-1,0)+b(-1,0,1,1)=c(0,1,0,1)+d(-1,1,1,2)[/tex] risolvo fino ad ottenere il sistema [tex]\{a=c+d;-a+b=d;b=c+2d[/tex] risolvo tale sistema e ottengo (scrittura simbolica) [tex]<(1,2,0,1)>[/tex]
ANALOGAMENTE per la seconda parte. E' giusto?
b)Dire se [tex]W1\oplus W3*=R^4[/tex] dove W3* è W3 ortogonale.
Di questo non ho fatto la correzione, ne capito bene la risoluzione.
Ringrazio quanti avranno il buon cuore di rispondermi. Grazie.
Dati i tre sottospazi vettoriali di [tex]R^4[/tex]:
[tex]W1=<(1,1,-1,0),(-1,0,1,1)>[/tex]
[tex]W2=<(1,2,-1,1),(1,1,2,0)>[/tex]
[tex]W3=<(0,1,0,1),(-1,1,1,2)>[/tex]
a)Determinare [tex]W1\cap W3[/tex] e [tex]W1\cap W2[/tex].
La mia risoluzione:
Glie elementi che appartengono a W1 e W3 contemporaneamente si esprimono così [tex]a(1,1,1-1,0)+b(-1,0,1,1)=c(0,1,0,1)+d(-1,1,1,2)[/tex] risolvo fino ad ottenere il sistema [tex]\{a=c+d;-a+b=d;b=c+2d[/tex] risolvo tale sistema e ottengo (scrittura simbolica) [tex]<(1,2,0,1)>[/tex]
ANALOGAMENTE per la seconda parte. E' giusto?
b)Dire se [tex]W1\oplus W3*=R^4[/tex] dove W3* è W3 ortogonale.
Di questo non ho fatto la correzione, ne capito bene la risoluzione.
Ringrazio quanti avranno il buon cuore di rispondermi. Grazie.
Risposte
Hai determinato un sistema di 3 equazioni in 4 incognite. Non mi pare possibile venga fuori solo una soluzione!
Giusto ho commesso un errore. La quarta equazione non può che essere d=d, dato che il sistema orginariamente si presenta con 4 equazioni di cui 2 uguali tra loro.
In questo momento mi rendo conto che questa svista anche nel compito può essere stata la causa dell'errore.
In questo momento mi rendo conto che questa svista anche nel compito può essere stata la causa dell'errore.
Non c'è una quarta equazione di quel tipo: semplicemente dovrai esprimere un certo numero di valori in funzione degli altri. Mai sentito parlare del teorema di Rouché-Capelli?
Non c'è una quarta equazione di quel tipo
Come può non esserci?
Comunque che ci devo fare con Rouchè-Capelli?
io dopo aver ottenuto quel sistema, ho preso d come parametro e risolto in base a quello.Non è corretto?
Intendo dire che le equazioni sono
$a+c=d,\ -a+b=d,\ -a+b=d,\ b=c+2d$
cioè ce ne è una doppia e quindi si riducono a tre. Rouché-Capelli serve proprio a fare quello che stai dicendo: ciò scegliere una delle lettere come parametro variabile e risolvere le equazioni rispetto alle restanti.
Certo che si ti chiedi cosa ci devi fare con l'unico teorema che serve a capire come trovare le soluzioni di un sistema di equazioni lineari, ti vedo messo proprio male figlio bello!
$a+c=d,\ -a+b=d,\ -a+b=d,\ b=c+2d$
cioè ce ne è una doppia e quindi si riducono a tre. Rouché-Capelli serve proprio a fare quello che stai dicendo: ciò scegliere una delle lettere come parametro variabile e risolvere le equazioni rispetto alle restanti.
Certo che si ti chiedi cosa ci devi fare con l'unico teorema che serve a capire come trovare le soluzioni di un sistema di equazioni lineari, ti vedo messo proprio male figlio bello!
cioè ce ne è una doppia e quindi si riducono a tre
"fiipi":...
il sistema orginariamente si presenta con 4 equazioni di cui 2 uguali tra loro.
Rouchè-Capelli tira dentro anche il rango per quello che ti ho chiesto cosa ci dovevo fare, hai solo incasinato la storia...Molto più semplicemente: dato che hai solo 3 equazioni(perchè una è doppia), avrai i risultati espressi in funzione di un parametro(in questo caso d).
Hai determinato un sistema di 3 equazioni in 4 incognite. Non mi pare possibile venga fuori solo una soluzione!qui come la mettiamo? E soprattutto è corretta la risoluzione?
Per quanto riguarda il punto b)?
Grazie.
"fiipi":...cioè ce ne è una doppia e quindi si riducono a tre
[quote="fiipi"]il sistema orginariamente si presenta con 4 equazioni di cui 2 uguali tra loro.
Rouchè-Capelli tira dentro anche il rango per quello che ti ho chiesto cosa ci dovevo fare, hai solo incasinato la storia...Molto più semplicemente: dato che hai solo 3 equazioni(perchè una è doppia), avrai i risultati espressi in funzione di un parametro(in questo caso d).
Hai determinato un sistema di 3 equazioni in 4 incognite. Non mi pare possibile venga fuori solo una soluzione!qui come la mettiamo? E soprattutto è corretta la risoluzione?
Per quanto riguarda il punto b)?
Grazie.[/quote]
STUDIA: è Rouché-Capelli che ti permette di affermare questo! E permettimi di dirti una cosa: se durante il MIO esame di geometria te ne fossi uscito con una tale affermazione, ti avrei sbattuto fuori a calci!
Non so chi tu abbia come docente, ma fidati che vedo il tuo sedere dolorante in futuro!Per il punto b, se prima non esibisci una base degli spazi determinati in precedenza, non posso aiutarti!
Dallo stile "interrogazione" con cui hai affrontato questa discussione avevo già capito tutto...lasciamo stare, è chiaro che non posso permettermi di fare quell'affermazione semplicistica. A me interesserebbe solo la soluzione di questo esercizio, poi me lo rivedrò da me, e per tua informazione, allo scritto mancava solo questo esercizio (che per una grossa distrazione ho sbagliato) per arrivare alla sufficienza. Non credo sia molto educato uscirtene con queste affermazioni nei miei confronti (capisco che tu mi inviti a impegnarmi) soprattutto perchè non mi conosci e sono anccora in fase di preparazione, la preparazione è fondata sullo studio, appunto.
Rouchè-Capelli magari lo uso per risolvere sistemi con parametri nei coefficienti dfelle incognite e con matrici complete di ordine 5x4...Ripeto, lasciamo stare.
Non vedo comunque risposte ai miei quesiti.
Rouchè-Capelli magari lo uso per risolvere sistemi con parametri nei coefficienti dfelle incognite e con matrici complete di ordine 5x4...Ripeto, lasciamo stare.
Non vedo comunque risposte ai miei quesiti.
Allora: dire se [tex]W1\oplus W3*=R^4[/tex]
Trovo [tex]W3*=\{(x,y,z,t) t.c. (x,y,z,t)*(0,1,0,1)=0[/tex] a sistema con [tex](x,y,z,t)*(-1,1,1,2)=0\}[/tex]
risolvo e ricavo [tex]W3*=<(1,0,0,0),(1,0,1,0),(2,-1,0,1)>[/tex] ora per la caratterizzazione delle somme dirette guardo le dimensioni: [tex]dim(W3)=2[/tex] e [tex]dim(W3*)=3[/tex] la cui somma è 5 e ciò implica che non vale l'uguaglianza perchè [tex]dim(R^4)=4[/tex]. Giusto?
Trovo [tex]W3*=\{(x,y,z,t) t.c. (x,y,z,t)*(0,1,0,1)=0[/tex] a sistema con [tex](x,y,z,t)*(-1,1,1,2)=0\}[/tex]
risolvo e ricavo [tex]W3*=<(1,0,0,0),(1,0,1,0),(2,-1,0,1)>[/tex] ora per la caratterizzazione delle somme dirette guardo le dimensioni: [tex]dim(W3)=2[/tex] e [tex]dim(W3*)=3[/tex] la cui somma è 5 e ciò implica che non vale l'uguaglianza perchè [tex]dim(R^4)=4[/tex]. Giusto?
Ma come fa ad essere $\dim(W_3\oplus W_3^\bot)>\dim\mathbb{R}^$? Ma lo sai che un sottospazio vettoriale e il suo complemento ortogonale in somma diretta sono tutto lo spazio che li contiene? Ricalcola le soluzioni per determinare $W_3^\bot$, perché questo spazio deve avere NECESSARIAMENTE dimensione 2.
P.S.: vedi? Ciò dimostra che, come immaginavo, tu abbia studiato la teoria in maniera approssimativa. Ti senti offeso per quello che ti ho detto? Fatti prima un esame di coscienza e impara ad accettare le critiche! Sei uno studente universitario, non un liceale a cui i genitori parano il sedere quando un professore dice che va male a scuola! A questo punto, sinceramente, credo che ti convenga chiedere a qualcuno più accondiscendente di me di aiutarti perché, sinceramente, non mi pare tu stia seguendo i miei consigli e, di conseguenza, mi stai facendo solo perdere del tempo.
Buona fortuna.
P.S.: vedi? Ciò dimostra che, come immaginavo, tu abbia studiato la teoria in maniera approssimativa. Ti senti offeso per quello che ti ho detto? Fatti prima un esame di coscienza e impara ad accettare le critiche! Sei uno studente universitario, non un liceale a cui i genitori parano il sedere quando un professore dice che va male a scuola! A questo punto, sinceramente, credo che ti convenga chiedere a qualcuno più accondiscendente di me di aiutarti perché, sinceramente, non mi pare tu stia seguendo i miei consigli e, di conseguenza, mi stai facendo solo perdere del tempo.
Buona fortuna.
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