Esercizio su Imf
1) Assegnato l’endomorfismo dello spazio
vettoriale $R^3$ :
$ F_h : (x,y,z) in R^3 -> (hy, x+hy+z, 2x+hy+2z) in R^3$ , con $h in R.$
a) Determinare la dimensione e una base di $ImF_h$ per ogni $h in R$.
b) Sia assegnato il sottospazio $W=L$((1,-1,0), (-1,1,1)), posto $h=1$,determinare una base del sottospazio di $ImF_1 nn W$.
c) Posto $h= 1$, determinare gli autovalori di $F_1$ e una base per ciascun
autospazio.
Potreste aiutarmi a svolgerlo? non ho ben capito come fare e vorrei avere questo esercizio svolto come guida per gli altri.
a)Ho iniziato trovando le immagini di $F_h$, quindi
$f(1,0,0) = (0,1,2)$
$f(0,1,0) = (h,h,h)$
$f(0,0,1) = (0,1,2)$
$ImF_h=L$((0,1,2),(h,h,h),(0,1,2))
$A=((0,1,2),(h,h,h),(0,1,2))
A questo punto calcolo il determinante ed il risultato è $|A|=0$, quindi $\rho(A)=2$ se $hne0$, altrimenti $\rho(A)=1$ .
Con $hne0$, $dimImf_h=2$, mentre con $h=0$, $dimImf_h=1$, giusto?
Quindi una base di $ImF_h$, con $h=0$, è $B=[(0,1,2)]$
Una base di $ImF_h$, con $hne0$, sarà $B=$[(0,1,2),(1,1,1)]
vettoriale $R^3$ :
$ F_h : (x,y,z) in R^3 -> (hy, x+hy+z, 2x+hy+2z) in R^3$ , con $h in R.$
a) Determinare la dimensione e una base di $ImF_h$ per ogni $h in R$.
b) Sia assegnato il sottospazio $W=L$((1,-1,0), (-1,1,1)), posto $h=1$,determinare una base del sottospazio di $ImF_1 nn W$.
c) Posto $h= 1$, determinare gli autovalori di $F_1$ e una base per ciascun
autospazio.
Potreste aiutarmi a svolgerlo? non ho ben capito come fare e vorrei avere questo esercizio svolto come guida per gli altri.
a)Ho iniziato trovando le immagini di $F_h$, quindi
$f(1,0,0) = (0,1,2)$
$f(0,1,0) = (h,h,h)$
$f(0,0,1) = (0,1,2)$
$ImF_h=L$((0,1,2),(h,h,h),(0,1,2))
$A=((0,1,2),(h,h,h),(0,1,2))
A questo punto calcolo il determinante ed il risultato è $|A|=0$, quindi $\rho(A)=2$ se $hne0$, altrimenti $\rho(A)=1$ .
Con $hne0$, $dimImf_h=2$, mentre con $h=0$, $dimImf_h=1$, giusto?
Quindi una base di $ImF_h$, con $h=0$, è $B=[(0,1,2)]$
Una base di $ImF_h$, con $hne0$, sarà $B=$[(0,1,2),(1,1,1)]
Risposte
possibile che nessuno possa aiutarmi? 
Il primo dovrebbe essere esatto.
Per il secondo, sicuramente la dimensione D è $\leq 1 D \leq 2$ perchè sottoinsiemi di $RR^3$. Per vedere se è due, devi controllare se lo spazio che generano è lo stesso (ti basta che ogni vettore di uno dei due spazi sia nell'altro).
Per il terzo, ti scrivi la matrice $M_E(f)$ e ti calcoli il suo polinomio caratteristico, ti darà i suoi autovalori. Una volta trovati, per ogni autovalore $c$, calcoli il nucleo di $A - cI_n$ e quella è la base dei sottospazi.
Per il secondo, sicuramente la dimensione D è $\leq 1 D \leq 2$ perchè sottoinsiemi di $RR^3$. Per vedere se è due, devi controllare se lo spazio che generano è lo stesso (ti basta che ogni vettore di uno dei due spazi sia nell'altro).
Per il terzo, ti scrivi la matrice $M_E(f)$ e ti calcoli il suo polinomio caratteristico, ti darà i suoi autovalori. Una volta trovati, per ogni autovalore $c$, calcoli il nucleo di $A - cI_n$ e quella è la base dei sottospazi.
[mod="Fioravante Patrone"]@innersmile
- ti ricordo il regolamento. E' già almeno la seconda volte (https://www.matematicamente.it/forum/ese ... tml#306195) che violi il regolamento con un "up". Ciò non sarà più tollerato.
- il tuo "avatar" (oltre a violare i vincoli di dimensione) rende fastidiosa la lettura. Sei invitata a cambiarla.[/mod]
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[quote=Fioravante Patrone][/quote]
mi dispiace aver violato il regolamento, non era mia intenzione.
Non sapevo che non si potesse "uppare".
Per quanto riguarda l'avatar, non pensavo creasse tutti questi problemi, lo cambio subito.
Scusatemi ancora.
mi dispiace aver violato il regolamento, non era mia intenzione.
Non sapevo che non si potesse "uppare".
Per quanto riguarda l'avatar, non pensavo creasse tutti questi problemi, lo cambio subito.
Scusatemi ancora.
[mod="Fioravante Patrone"]Grazie.[/mod]
Di nulla e scusami ancora!
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