Esercizio su geometrica affine ed euclidea
Ragazzi, avrei dei problemi a risolvere questo esercizio sulla geometria affine ed euclidea.
Fissato un sistema di riferimento cartesiano RC(O,A1,A2,A3) in E^3, trova equazioni parametriche e cartesiane della retta r0 passante per il punto $ P = (2,3,-1) $, parallela al piano π di equazione $ 4x1 + x2 + x3 = 27 $ e ortogonale alla retta r di equazioni $ x1 - 6x3 = 8 $ , $ x1 - 4x2 + 2x3 = -1 $ .
Come faccio a risolvere questo esercizio?
Dovrebbero venire $ x1 = 2+t $ , $ x2 = 3-2t $ , $ x3 = -1-2t $ come equazioni parametriche ed equazioni cartesiane $ 2x1 + x2 = 7 $ , $ x2 - x3 = 4 $
Fissato un sistema di riferimento cartesiano RC(O,A1,A2,A3) in E^3, trova equazioni parametriche e cartesiane della retta r0 passante per il punto $ P = (2,3,-1) $, parallela al piano π di equazione $ 4x1 + x2 + x3 = 27 $ e ortogonale alla retta r di equazioni $ x1 - 6x3 = 8 $ , $ x1 - 4x2 + 2x3 = -1 $ .
Come faccio a risolvere questo esercizio?
Dovrebbero venire $ x1 = 2+t $ , $ x2 = 3-2t $ , $ x3 = -1-2t $ come equazioni parametriche ed equazioni cartesiane $ 2x1 + x2 = 7 $ , $ x2 - x3 = 4 $
Risposte
Hai provato a ragionare in qualche modo?
Osserva che il vettore di direzione della retta [tex]r_0[/tex] deve essere ortogonale sia alla retta [tex]r[/tex] che al vettore normale al piano [tex]n[/tex].
Può esserti utile l' operazione di prodotto scalare secondo te?
Osserva che il vettore di direzione della retta [tex]r_0[/tex] deve essere ortogonale sia alla retta [tex]r[/tex] che al vettore normale al piano [tex]n[/tex].
Può esserti utile l' operazione di prodotto scalare secondo te?
Si, ho provato a ragionare, però non ne sono venuto a capo.. Se quindi potete gentilmente aiutarmi..
Inizia a considerare i seguenti:
[tex]<\vec n,\vec v_0>[/tex]
[tex]<\vec n,\vec v>[/tex]
dove [tex]\vec v[/tex] e [tex]\vec v_0[/tex] sono rispettivamente il vettore di direzione della retta [tex]r[/tex] ed [tex]r_0[/tex],
mentre [tex]\vec n[/tex] è il vettore normale al piano [tex]\pi[/tex].
Come deve risultare ogni prodotto scalare?
[tex]<\vec n,\vec v_0>[/tex]
[tex]<\vec n,\vec v>[/tex]
dove [tex]\vec v[/tex] e [tex]\vec v_0[/tex] sono rispettivamente il vettore di direzione della retta [tex]r[/tex] ed [tex]r_0[/tex],
mentre [tex]\vec n[/tex] è il vettore normale al piano [tex]\pi[/tex].
Come deve risultare ogni prodotto scalare?
La retta r0 deve essere parallela al piano, quindi se per esempio chiamiamo l,m,n i parametri direttori della retta e a,b,c i parametri di giacitura del piano dovrà esssere:
al + bm + cn = 0
Inoltre chiamano l',m',n' i parametri direttori della seconda retta, essendo le due retta ortogonali dovrà anche essere:
ll' +mm' + nn' = 0
Ma non riesco a capire come possano tornaermi utili queste due relazioni...
al + bm + cn = 0
Inoltre chiamano l',m',n' i parametri direttori della seconda retta, essendo le due retta ortogonali dovrà anche essere:
ll' +mm' + nn' = 0
Ma non riesco a capire come possano tornaermi utili queste due relazioni...
Ho capito come risolverlo, basta considerare le condizioni di ortogonalità e di parallelismo, infatti:
6l + 2m + n = 0
4l + m + n = 0
Quindi l = 1, m = -2, n = -2
E sapendo che:
x = x0 + lt
y = yo + mt
z = zo + nt
Si ottiene:
x = 2 + t
y = 3 - 2t
z = -1 -2t
6l + 2m + n = 0
4l + m + n = 0
Quindi l = 1, m = -2, n = -2
E sapendo che:
x = x0 + lt
y = yo + mt
z = zo + nt
Si ottiene:
x = 2 + t
y = 3 - 2t
z = -1 -2t
"ireon":
a,b,c i parametri di giacitura del piano
Qui hai fatto confusione, la giacitura di un piano non coincide col suo vettore normale.
Per il resto, tutto corretto.
Ti consiglio di usare le formule in futuro, per facilitare la lettura dei post
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