Esercizio su geometria affine ed euclidea
Ragazzi mi aiutate a risolvere questo esercizio su geometria affine ed euclidea? Non so proprio come fare.
Siano dati la retta r e il piano π di equazioni parametriche:
r : $ { ( x1 = 3t + 2 ),( x2 = 2t - 1 ),( x3 = t + 2 ):} $
π : $ { ( x1 = 3t + s - 5 ),( x2 = - t- 2s - 7 ),( x3 = s - 2t - sqrt3 ):} $
Trovare equazioni parametriche e cartesiane del piano ortogonale a π, parallelo a r e passante per il punto $ P = (1, -3, 0) $
Siano dati la retta r e il piano π di equazioni parametriche:
r : $ { ( x1 = 3t + 2 ),( x2 = 2t - 1 ),( x3 = t + 2 ):} $
π : $ { ( x1 = 3t + s - 5 ),( x2 = - t- 2s - 7 ),( x3 = s - 2t - sqrt3 ):} $
Trovare equazioni parametriche e cartesiane del piano ortogonale a π, parallelo a r e passante per il punto $ P = (1, -3, 0) $
Risposte
Eccoti un aiuto: ricava il vettore direzione di $r$ (chiamiamolo $v$). Inoltre considera che se hai l'eq. cartesiana di un piano $ax+by+cz+d=0$, il vettore $(a,b,c)$ è perpendicolare a quel piano.
Paola
Paola
Allora ho che $ v = | 3 , 2 , 1 | $
Inoltre dalle equazioni parametriche del piano posso ricavarmi i parametri di giacitura:
$a : b : c = det | ( m , n ),( m' , n' ) | $ $: - det | ( l , n ),( l' , n' ) |$ $: det | ( l , m ),( l' , m' ) |
E ottengo $ a = 3 $, $ b = -5 $, $ c=5 $
Inoltre conosco anche i vettori di giacitura del piano, ovvero $ v1 = | 1 , -2 , 1 | $ e $ v2 = | 3 , -1 , -2 | $
Adesso che ho queste informazioni come risolvo l'esercizio?
Inoltre dalle equazioni parametriche del piano posso ricavarmi i parametri di giacitura:
$a : b : c = det | ( m , n ),( m' , n' ) | $ $: - det | ( l , n ),( l' , n' ) |$ $: det | ( l , m ),( l' , m' ) |
E ottengo $ a = 3 $, $ b = -5 $, $ c=5 $
Inoltre conosco anche i vettori di giacitura del piano, ovvero $ v1 = | 1 , -2 , 1 | $ e $ v2 = | 3 , -1 , -2 | $
Adesso che ho queste informazioni come risolvo l'esercizio?
Do per buoni i tuoi conti. Quando hai due vettori $v,w$ e un punto $P=(x_0,y_0,z_0)$ puoi ricavare le eq. parametriche così:
$((x),(y),(z))=((x_0),(y_0),(z_0)) + t v + s w$ con $s,t$ parametri.
Paola
$((x),(y),(z))=((x_0),(y_0),(z_0)) + t v + s w$ con $s,t$ parametri.
Paola
Si, ma così facendo mi trovo semplicemente l'equazione del piano passante per $ P = (1,-3,0) $, ovvero:
$ { ( x1 = 1 + s + 3t ),( x2 = -3 - 2s - t ),( x3 = s - st ):} $
A me invece serve l'equazione del piano che passa per P, ma che è anche ortogonale a π e parallelo a r.
$ { ( x1 = 1 + s + 3t ),( x2 = -3 - 2s - t ),( x3 = s - st ):} $
A me invece serve l'equazione del piano che passa per P, ma che è anche ortogonale a π e parallelo a r.
Ti ho già detto che il parallelismo con $r$ lo rendi usando il vettore direzione di $r$, mentre la perpendicolarità con $n$ usando il vettore corrispondente $(a,b,c)$ del piano $n$, come spiegato sopra.
A questo punto hai i due vettori che individuano il piano e manca solo il passaggio per $P$.
Paola
A questo punto hai i due vettori che individuano il piano e manca solo il passaggio per $P$.
Paola
Utilizzando l'ortogonalità tra piani: aa' + bb' + cc' = 0 mi trovo che il piano cercato ha i parametri di giacitura: a = 5, b= 5 e c= 2 , e so che v è un vettore di giacitura uguale a $ v = (3,2,1) $. Però non ho capito come devo usarli per ottenere l'equazione del piano cercato.
Ricavo la forma cartesiana di $n$:
$\{(x=3t+s-5),(y=-t-2s-7),(z=s-2t-\sqrt{3}):}\to x+z+y+12+\sqrt{3}=0$
(ho omesso i passaggi di come ho risolto il sistema, se interessa te li descrivo qui:
Dunque il vettore $(1,1,1)$ (è il vettore $(a,b,c)$ di cui parlavo) è perpendicolare ad $n$.
Usando anche il vettore direzione della retta e il punto di passaggio otteniamo il piano che cercavamo:
$\{(x=t+3s+1),(y=t+2s-3),(z=t+s):}$
La storia che il vettore $(a,b,c)$ è perpendicolare al piano $ax+by+cz+d=0$ ricordatela perché è davvero utile negli esercizi!
Paola
$\{(x=3t+s-5),(y=-t-2s-7),(z=s-2t-\sqrt{3}):}\to x+z+y+12+\sqrt{3}=0$
(ho omesso i passaggi di come ho risolto il sistema, se interessa te li descrivo qui:
Dunque il vettore $(1,1,1)$ (è il vettore $(a,b,c)$ di cui parlavo) è perpendicolare ad $n$.
Usando anche il vettore direzione della retta e il punto di passaggio otteniamo il piano che cercavamo:
$\{(x=t+3s+1),(y=t+2s-3),(z=t+s):}$
La storia che il vettore $(a,b,c)$ è perpendicolare al piano $ax+by+cz+d=0$ ricordatela perché è davvero utile negli esercizi!
Paola
Però nelle soluzioni del libro mi dice che il piano dovrebbe avere le seguenti equazioni parametriche:
$ { ( x1 = 1 + t ),( x2 = -3 + s ),( x3= 2s - t ):} $
E sono diverse da quelle che hai scritto te, come mai?
$ { ( x1 = 1 + t ),( x2 = -3 + s ),( x3= 2s - t ):} $
E sono diverse da quelle che hai scritto te, come mai?
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