Esercizio su Galois

[alby9411]

Buonasera, mi trovo in difficoltà nell'affrontare esercizi sui campi di galois , siccome dalla teoria non trovo molti spunti su come risolverli. Un esercizio dice : dato GF(16) calcolare l'ordine.

So che $16=2^4$ e quindi gli elementi sono 16.. ora, come procedere ?
Grazie

[j18eos]

Cosa non ti è ancora chiaro?

Rivediti la definizione di periodo di un elemento!

[alby9411]

Come nell'immagine seguente, giustamente viene definito ordine di un elemento a, quel numero h tale che tutte le potenze fino ad h-1 , creano il sottogruppo generato da a. Ma allora cosa significa ad esempio in $ Gf(16)$ che l ordine di un elemento può essere 2,4,8,16 oppure essere un generatore? Non è gia un generatore ad esempio un elemento con ordine 16?

[j18eos]

"alby941":Come nell'immagine seguente, giustamente viene definito ordine di un elemento a, quel numero h tale che tutte le potenze fino ad h-1 , creano il sottogruppo generato da a...

No, la definizione corretta (di elemento di un gruppo con periodo finito) dice che:
\[
\forall h\in\{1,2,\dots,h-1\},\,a^h\neq1,\,a^h=1.
\]
E si dimostra che il gruppo generato da \(\displaystyle a\) ha per sostegno l'insieme \(\displaystyle\{1,a,a^2,\dots,a^{h-1}\}\)!

Pensaci un po su...

[alby9411]

Abbiamo detto la stessa cosa se non erro [emoji53] (non vedo bene le scritte matematiche essendo dal cell)