Esercizio su Galois

[alby9411]

Buonasera, mi trovo in difficoltà nell'affrontare esercizi sui campi di galois , siccome dalla teoria non trovo molti spunti su come risolverli. Un esercizio dice : dato GF(16) calcolare l'ordine.

So che $16=2^4$ e quindi gli elementi sono 16.. ora, come procedere ?
Grazie

[j18eos]

Scusami se ti offendo, ma dalle mia parti \(\displaystyle GF(16)\) è il campo finito di \(\displaystyle16\) elementi: qual è l'esercizio?

[alby9411]

Si, è quello che pensavo, solo che poi ho visto la soluzione di un compagno ed era stato trovato un polinomio irriducibile per poter eseguire le divisioni.. e si elevava questo polinomio a potenze crescenti finche non si trovava l'unità. Appunto non ho capito cosa abbia fatto il compagno , e penso sia corretto siccome era stato svolto in classe

[j18eos]

Allora l'esercizio è costruire un modello di \(\displaystyle GF(16)\)!

Come tu stess* hai notato: \(\displaystyle 16=2^4\) quindi \(\displaystyle GF(16)\) può essere costruito come un'estensione algebrica di \(\displaystyle GF(2)\) a.k.a. \(\displaystyle\mathbb{Z}_2\), che già si sa che esiste.

Riesci a trovare un polinomio monico e irriducibile su \(\displaystyle\mathbb{Z}_2\) di grado \(\displaystyle 4\)?

[alby9411]

Allora, non so come fare a trovarlo, ma so per teoria che $t^4+t^2+1$ è irriducibile. Ora vorrei sapere, perché bisogna trovare questo polinomio irriducibile?

[j18eos]

Il concetto di estensione di un campo ti è chiaro?

[alby9411]

A meno che non abbia anche altri nomi no, non l ho fatta

[j18eos]

Me ne stupisco!, ma non le hai ancora studiate o non sono affatto nel programma?

[alby9411]

Ripeto, a meno che le estensioni di campi non abbiano anche altri nomi no, non sono proprio nel programma ... ma l'esercizio può essere affrontato con quello visto a lezione

[j18eos]

Potrei vedere il programma del corso, così da capire cosa (non) puoi usare per risolvere l'esercizio!

[alby9411]

http://www.dmi.unipg.it/~stra/geo2.html

Mi daresti anche una valutazione sul programma? ( base, medio, approfondito)

[j18eos]

Come caratterizzi i campi di Galois a.k.a. campi finiti?

[alby9411]

Cosa intendi per caratterizzare ? $Z_p x Z_p x ... x Z_p$ n volte ove Zp coefficienti interi delle classi di resto

[j18eos]

Quello non è un campo, quello è un anello commutativo unitario con divisori dello zero, cioè:
\[
n=2,\,(1,0)\cdot(0,1)=(0,0);
\]
al più, dovresti passare a un quoziente!

[alby9411]

Questo è ciò che il prof ha spiegato sui campi di Galois

[j18eos]

Potresti scrivere solo la parte in cui il prof. definisce il prodotto in \(\displaystyle(\mathbb{Z}_p)^n\)?

[alby9411]

Ecco come è stato definito

[j18eos]

Sono riuscito a leggere il file...

Allora, hai scelto il polinomio \(\displaystyle\nu(t)=t^4+t^2+1\in\mathbb{Z}_2[t]\); hai dimostrato che questi è irriducibile su \(\displaystyle\mathbb{Z}_2\), e quindi per il teorema che mi hai mostrato, si conclude che esiste \(\displaystyle GF(16)\) o \(\displaystyle\mathbb{F}_{16}\).

Ti torna tutto?

[alby9411]

Fin qua si

[j18eos]

Non c'è altro da aggiungere;

al massimo puoi descrivere le operazioni interne.

[alby9411]

Beh, diciamo che la richiesta non era di dire se esisteva... effettivamente non era chiara la richiesta . Fatto sta che ci sono ancora dei dubbi da chiarire. Ad esempio se mi chiedeva l ordine di un certo elemento, ho visto che esso sarebbe stato 2,4,8,16, oppure essere un generatore . Questa cosa non l ho capita, se è di ordine 2 ad esempio , perché non dovrebbe essere un generatore ?