Esercizio su funzioni

[arpo47]

Si consideri \(\displaystyle f:R^3\rightarrow R^4 \) tale che \(\displaystyle f(x)=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 1 & 1\end{bmatrix} \)
1) si provi che f è iniettiva;
2) si indichi un sottospazio vettoriale \(\displaystyle Z \) di \(\displaystyle R^4 \) tale che \(\displaystyle Inf \bigoplus Z=R^4\)

[minomic]

Ciao, secondo il regolamento dovresti mostrare qualche tuo tentativo/ragionamento.

[arpo47]

Lo so però credo che siano un po' insensati...Accetto anche consigli se non potete scrivermi tutti i passaggi

[Seneca1]

Per provare l'iniettività devi verificare che il nucleo dell'applicazione è banale, cioè $\text{Ker}(f) = \{ \bb{0} \}$.

Puoi trovare una base di $\text{Ker}(f)$ risolvendo il sistema lineare $A \bb{x} = \bb{0}$, dove $A$ è la matrice associata ad $f$.

[Kashaman]

per il 2) ti basta , dopo aver trovato una base di $Imf$ , completarla ad una di $RR^4$

[arpo47]

Grazie mille a tutti e due per la pronta risposta! Dunque per il punto 1) il sistema che mi verifica \(\displaystyle Ax=0 \)
e'
\(\displaystyle x1+x3=0 \)
\(\displaystyle x2=0\)
\(\displaystyle x1=0 \)
\(\displaystyle x2+x3=0 \)

quindi\(\displaystyle x1=x2=x3=0 \)
dunque è iniettiva giusto?