Esercizio su esempio di spazio vettoriale
ragazzi vi propongo un esercizio che sono riuscito a risolvere solo a metà...
si dia un esempio di spazio vettoriale di dimensione 5 su un campo K che non sia K^5 e determinare due basi di tale esempio...
come prima risposta io considero l'insieme dei polinomi di grado (n-1) che sarà del tipo K5[x]={ax^4 + bx^3+ cx^2+dx+e tale che a, b, c, d, e appartengono a K}, la questione ora sta tutta nel trovare due basi di questo spazio vettoriale...come devo fare??
si dia un esempio di spazio vettoriale di dimensione 5 su un campo K che non sia K^5 e determinare due basi di tale esempio...
come prima risposta io considero l'insieme dei polinomi di grado (n-1) che sarà del tipo K5[x]={ax^4 + bx^3+ cx^2+dx+e tale che a, b, c, d, e appartengono a K}, la questione ora sta tutta nel trovare due basi di questo spazio vettoriale...come devo fare??
Risposte
La base canonica sarà $\{1,x,x^2,x^3,x^4\}$. Modifica un po' quest'ultima per trovare la seconda.
Paola
Paola
"prime_number":
La base canonica sarà $\{1,x,x^2,x^3,x^4\}$. Modifica un po' quest'ultima per trovare la seconda.
Paola
scusa ma non ho capito....la base canonica sarà $\{1,x,x^2,x^3,x^4\}$ xkè? e poi come la modifico?
Non è difficile vedere che è una base, basta applicare la definizione, ovvero che sono lin. indip. (vedi rango) e che qualunque polinomio si può scrivere come combinazione lineare di quelli con coeff. in K.
Per modificarla puoi fare ad esempio
${1,x-x^2, x^2-x^3, x^3-x^4, x^4 }$
Se metti i coefficienti di questi vettori (rispetto alla base canonica) in una matrice si vede subito che il rango è $5$.
Paola
Per modificarla puoi fare ad esempio
${1,x-x^2, x^2-x^3, x^3-x^4, x^4 }$
Se metti i coefficienti di questi vettori (rispetto alla base canonica) in una matrice si vede subito che il rango è $5$.
Paola
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