Esercizio su endomorfismo
Ciao a tutti,
una prova passata d'esame riporta quanto segue:
$ f: RR^3 rarr RR^3, f(x,y,z) = (x+y;x+4y-z;-y+2z) $
1) Determinare la dimensione ed una base di Ker f e di Im f.
2) Studiare la diagonalizzabilità di f.
Per il primo ho fatto come segue:
So che Im f = rg(A) dove A è la matrice associata all'endomorfismo, e mi risulta di rango = 3.
Da cui so che n(dim spazio partenza) = dim Im f + dim Ker f => dim ker f = 0.
E posso anche affermare che la trasf. lineare è iniettiva, giusto?
La base di ker f è banalmente {(0,0,0)}, mentre quella di im f , verifico che le colonne siano lin.indip. e ho un piccolo dubbio:
è meglio scriverla come {(1,1,0),(0,-1,2),(0,0,5)} (ridotta) o {(1,1,0),(1,4,1),(0,-1,2)} ? (sempre ammesso che sia giusto
)
Per il secondo punto invece ho un problema:
per trovare gli autovalori devo trovare le radici del polinomio caratteristico, che è in forma $-x^3+7 x^2-12 x+5$.
Come faccio a determinarne le radici?
una prova passata d'esame riporta quanto segue:
$ f: RR^3 rarr RR^3, f(x,y,z) = (x+y;x+4y-z;-y+2z) $
1) Determinare la dimensione ed una base di Ker f e di Im f.
2) Studiare la diagonalizzabilità di f.
Per il primo ho fatto come segue:
So che Im f = rg(A) dove A è la matrice associata all'endomorfismo, e mi risulta di rango = 3.
Da cui so che n(dim spazio partenza) = dim Im f + dim Ker f => dim ker f = 0.
E posso anche affermare che la trasf. lineare è iniettiva, giusto?
La base di ker f è banalmente {(0,0,0)}, mentre quella di im f , verifico che le colonne siano lin.indip. e ho un piccolo dubbio:
è meglio scriverla come {(1,1,0),(0,-1,2),(0,0,5)} (ridotta) o {(1,1,0),(1,4,1),(0,-1,2)} ? (sempre ammesso che sia giusto
)Per il secondo punto invece ho un problema:
per trovare gli autovalori devo trovare le radici del polinomio caratteristico, che è in forma $-x^3+7 x^2-12 x+5$.
Come faccio a determinarne le radici?
Risposte
Dovresti porre quell' equazione uguale a 0 e risolverla, le soluzioni dovrebbero essere le radici del polinomio.
Eh.. una parola, ho provato a buttarla in wolfram e mi da i risultati numeric.. vabbè, il resto è giusto?
Se quando calcoli il polinomio caratteristico cerchi di annullare qualche entrata della matrice, prima di sviluppare con Laplace, spesso il risultato è già fattorizzato, o almeno in parte.
Per quanto riguarda la prima parte si, sul fatto che la trasformazione sia iniettiva non saprei dirti, credo di si. Sulla base per l' immagine dipende da come riduci la matrice e dagli elementi speciali che consideri per le righe, ti basta andare a ricopiare i vettori della matrice di partenza, che contengono gli elementi speciali.
Anzi, in questo caso, l' applicazione è in base canonica? Se ci fai caso la dimensione dell' immagine coincide con la dimensione [tex]R^3[/tex]. Quindi si risponde che [tex]Imf=R^3[/tex] pertanto una sua base è data dalla stessa base canonica.
Anzi, in questo caso, l' applicazione è in base canonica? Se ci fai caso la dimensione dell' immagine coincide con la dimensione [tex]R^3[/tex]. Quindi si risponde che [tex]Imf=R^3[/tex] pertanto una sua base è data dalla stessa base canonica.
Un'applicazione lineare $f:V->W$ è iniettiva $<=>$ $dim(Kerf)=0$ ($Kerf={ul(0)_V}$)
In effetti non ci avevo pensato, grazie tante a tutti e due siete stati gentili e veloci 
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