Esercizio su endomorfismo.
Ho incominciato questo esercizio tipo esame.
Vorrei che qualcuno lo supervisionasse
Endomorfismo in $R^3$:
$f(x,y,z)=(2x+3y-z,-y+z,-6y+4z)$
1) si determinino le dimensioni di $kerf$ e $Imf$
la matrice associata è:
$((2,0,0),(3,-1,-6),(-1,1,4))$
il determinante è $4$ dunque diverso da $0$
E' un automorfismo.
La matrice ha rango massimo ed è un endomorfismo invertibile.
$rang=DimImf$
$DimImf=3$
$DimKerf=0$
in quanto
$DimImf+DimKerf=3$ in quanto siamo in $R^3$
una base è:
$B={(2,3,-1),(0,-1,1),(0,-6,4)}$
Fin qui è ok?
Grazie
Vorrei che qualcuno lo supervisionasse
Endomorfismo in $R^3$:
$f(x,y,z)=(2x+3y-z,-y+z,-6y+4z)$
1) si determinino le dimensioni di $kerf$ e $Imf$
la matrice associata è:
$((2,0,0),(3,-1,-6),(-1,1,4))$
il determinante è $4$ dunque diverso da $0$
E' un automorfismo.
La matrice ha rango massimo ed è un endomorfismo invertibile.
$rang=DimImf$
$DimImf=3$
$DimKerf=0$
in quanto
$DimImf+DimKerf=3$ in quanto siamo in $R^3$
una base è:
$B={(2,3,-1),(0,-1,1),(0,-6,4)}$
Fin qui è ok?
Grazie
Risposte
solo una cosa, una notazione:
se tu hai una matrice $B$ di dimensioni $3$ per $3$ e devi applicarla ad un vettore $v$ di dimensioni $3$ per $1$,
come fai il prodotto? in che ordine?
se tu hai una matrice $B$ di dimensioni $3$ per $3$ e devi applicarla ad un vettore $v$ di dimensioni $3$ per $1$,
come fai il prodotto? in che ordine?
Mi sembra tutto giusto.
Non capisco solo cosa vuol dire: "una sua base è..."
Una base di chi? E a cosa ti serve una base nel tuo ragionamento?
Attenzione che la matrice associata ad un'applicazione (e quindi in particolare quella del cambiamento di base) lavorano con componenti non con vettori!
Non capisco solo cosa vuol dire: "una sua base è..."
Una base di chi? E a cosa ti serve una base nel tuo ragionamento?
Attenzione che la matrice associata ad un'applicazione (e quindi in particolare quella del cambiamento di base) lavorano con componenti non con vettori!
"mistake89":
Mi sembra tutto giusto.
Non capisco solo cosa vuol dire: "una sua base è..."
Una base di chi? E a cosa ti serve una base nel tuo ragionamento?
Hai ragione, al massimo posso scrivere:
Trovo una base dell'$Imf$ cioè prendendo un numero di colonne $L.I$ pari al rango.
(Non so se posso affermare ciò).
@blackbishop.
Non ho capito che vuoi che io faccia. :S
come costruisci la matrice associata ad un endomorfismo?
come verifichi che sia giusta?
come verifichi che sia giusta?
@blackbishop.
Datami un applicazione come quella dell'esercizio io vedo di mettere in colonna i coefficienti della $x,y,z$
tipo deve essere in così:
$f(x,y,z)=(alpha(x)+beta(y)+gamma(z),alpha'(x)+beta'(y)+gamma'(z),alpha''(x)+beta''(y)+gamma''(z))$
$((alpha,alpha',alpha''),(beta,beta',beta''),(gamma,gamma',gamma''))
non so se ho spiegato chiaramente, ma io così ho fatto, e di solito faccio per trovare la matrice associata all'endomorfismo.
Datami un applicazione come quella dell'esercizio io vedo di mettere in colonna i coefficienti della $x,y,z$
tipo deve essere in così:
$f(x,y,z)=(alpha(x)+beta(y)+gamma(z),alpha'(x)+beta'(y)+gamma'(z),alpha''(x)+beta''(y)+gamma''(z))$
$((alpha,alpha',alpha''),(beta,beta',beta''),(gamma,gamma',gamma''))
non so se ho spiegato chiaramente, ma io così ho fatto, e di solito faccio per trovare la matrice associata all'endomorfismo.
ok, ma poi come fai a calcolare esplicitamente l'immagine di un vettore?
ovvero nell'esempio di prima, abbiamo quell'endomorfismo dato da
$f(x,y,z)=(2x+3y-z,-y+z,-6y+4z)$
la cui matrice associata è:
$((2,0,0),(3,-1,-6),(-1,1,4))$
se voglio calcolare $f(1,0,0)$ come faccio? sostituisco i valori nella formula e ottengo
$f(1,1,0)=(5,-1,-6)$
se invece voglio calcolare l'immagine del vettore $(1,1,0)$ tramite l'utilizzo della matrice associata, come faccio?
dovrò fare un prodotto righe per colonne, nel modo opportuno, questo dovrebbe essere chiaro, altrimenti a cosa serve trovare la matrice?
e come fai tu questo prodotto?
ovvero nell'esempio di prima, abbiamo quell'endomorfismo dato da
$f(x,y,z)=(2x+3y-z,-y+z,-6y+4z)$
la cui matrice associata è:
$((2,0,0),(3,-1,-6),(-1,1,4))$
se voglio calcolare $f(1,0,0)$ come faccio? sostituisco i valori nella formula e ottengo
$f(1,1,0)=(5,-1,-6)$
se invece voglio calcolare l'immagine del vettore $(1,1,0)$ tramite l'utilizzo della matrice associata, come faccio?
dovrò fare un prodotto righe per colonne, nel modo opportuno, questo dovrebbe essere chiaro, altrimenti a cosa serve trovare la matrice?
e come fai tu questo prodotto?
"blackbishop13":
ok, ma poi come fai a calcolare esplicitamente l'immagine di un vettore?
ovvero nell'esempio di prima, abbiamo quell'endomorfismo dato da
$f(x,y,z)=(2x+3y-z,-y+z,-6y+4z)$
la cui matrice associata è:
$((2,0,0),(3,-1,-6),(-1,1,4))$
se voglio calcolare $f(1,0,0)$ come faccio? sostituisco i valori nella formula e ottengo
$f(1,1,0)=(5,-1,-6)$
io ho seguito il tuo esempio.
per $f(1,0,0)=(2,0,0) secondo i miei calcoli
dove $(1,0,0)$ è un vettore della base standard di $R^3$
per $f(1,1,0)$ invece è come hai detto tu cioè: $f(1,1,0)=(5,-1,-6)$ e mi trovo.
"blackbishop13":
se invece voglio calcolare l'immagine del vettore $(1,1,0)$ tramite l'utilizzo della matrice associata, come faccio?
dovrò fare un prodotto righe per colonne, nel modo opportuno, questo dovrebbe essere chiaro, altrimenti a cosa serve trovare la matrice?
e come fai tu questo prodotto?
il prodotto righe per colonne è tra la matrice associata $3,3$ per la matrice $3,1$ che ha come componenti, le componenti del vettore $(1,1,0)$
se è fatto bene dovrebbe venire una matrice $3,1$ con $(0,0,0)$
ma non ricordo se è cosi, o mi sto confondendo con altro.
secondo me sei un po' confuso, il punto è che per come lavoro io di solito, se ho una matrice $B$ associata ad un endomorfismo $f$, costruisco $B$ in modo che $B*v=f(v)$ dove $v$ è un vettore colonna, $*$ indica il prodotto righe per colonne.
quindi di solito io costruirei la matrice non come hai fatto tu, ma userei la trasposta di come hai fatto tu.
ma non è ovviamente l'unico modo, si può anche fare diversamente. ma a me pare che tu non ti sia mai chiesto come si lavora con una matrice associata ad una applicazione lineare. anche perchè te l'ho chiesto due volte e non mi sai rispondere.
insomma, sai o no come "usare" quella matrice come applicazione, e quindi sai perchè la matrice la costruisci così?
sai perchè proprio quella matrice è associata all'endomorfismo?
quindi di solito io costruirei la matrice non come hai fatto tu, ma userei la trasposta di come hai fatto tu.
ma non è ovviamente l'unico modo, si può anche fare diversamente. ma a me pare che tu non ti sia mai chiesto come si lavora con una matrice associata ad una applicazione lineare. anche perchè te l'ho chiesto due volte e non mi sai rispondere.
insomma, sai o no come "usare" quella matrice come applicazione, e quindi sai perchè la matrice la costruisci così?
sai perchè proprio quella matrice è associata all'endomorfismo?
"blackbishop13":
secondo me sei un po' confuso, il punto è che per come lavoro io di solito, se ho una matrice $B$ associata ad un endomorfismo $f$, costruisco $B$ in modo che $B*v=f(v)$ dove $v$ è un vettore colonna, $*$ indica il prodotto righe per colonne.
quindi di solito io costruirei la matrice non come hai fatto tu, ma userei la trasposta di come hai fatto tu.
useresti la matrice: $((2,3,-1),(0,-1,1),(0,-6,4))$?
"blackbishop13":
ma non è ovviamente l'unico modo, si può anche fare diversamente. ma a me pare che tu non ti sia mai chiesto come si lavora con una matrice associata ad una applicazione lineare. anche perchè te l'ho chiesto due volte e non mi sai rispondere.
si, ho cercato di svolgere l'esercizio tipo come fa il prof., cercando di saper fare almeno 'meccanicamente' l'intero esercizio.
Si :S non ti ho saputo rispondere, è vero.
"blackbishop13":
insomma, sai o no come "usare" quella matrice come applicazione, e quindi sai perchè la matrice la costruisci così?
sai perchè proprio quella matrice è associata all'endomorfismo?
se ti riferisci alla mia matrice, il prof ci ha detto di mettere i coefficienti sempre in colonna, perchè altrimenti sarebbe venuta una matrice sbagliata per i calcoli.
Forse la spiegazione è più sottile, e io non l'ho captata.
Vorrei saperlo però il motivo di come usare quella matrice come applicazione.
dovresti ormai aver capito che fare le cose meccanicamente porta poco lontano in matematica.
certo che si usa la matrice $B=((2,3,-1),(0,-1,1),(0,-6,4))$
prova a fare questo tentativo: tu vuoi calcolare l'immagine del vettore $((1),(0),(0))$
come detto, se gli applichi $f$ utilizzando la formula esplicita, ottieni $((2),(0),(0))$
adesso prova a fare $B*v$ con il prodotto righe per colonne. vedrai che ottieni la stessa cosa, giustamente, mentre se provi con la tua matrice viene un'altra cosa. Ora, sembra ragionevole cercare una matrice associata ad un endomorfismo che applicata ad un vettore dia lo stesso risultato dell'endomorfismo stesso no??? direi di sì. perciò abbiamo capito che la matrice che proponevi tu non funziona. nemmeno abbiamo dimostrato che fuziona la mia, ma se ci pensi un attimo (prova a vedere che relazione c'è tra le colonne, i coefficienti della formula dell'endomorfismo, prova ad applicare ai vettori della base canonica)
e te ne convincerai.
certo che si usa la matrice $B=((2,3,-1),(0,-1,1),(0,-6,4))$
prova a fare questo tentativo: tu vuoi calcolare l'immagine del vettore $((1),(0),(0))$
come detto, se gli applichi $f$ utilizzando la formula esplicita, ottieni $((2),(0),(0))$
adesso prova a fare $B*v$ con il prodotto righe per colonne. vedrai che ottieni la stessa cosa, giustamente, mentre se provi con la tua matrice viene un'altra cosa. Ora, sembra ragionevole cercare una matrice associata ad un endomorfismo che applicata ad un vettore dia lo stesso risultato dell'endomorfismo stesso no??? direi di sì. perciò abbiamo capito che la matrice che proponevi tu non funziona. nemmeno abbiamo dimostrato che fuziona la mia, ma se ci pensi un attimo (prova a vedere che relazione c'è tra le colonne, i coefficienti della formula dell'endomorfismo, prova ad applicare ai vettori della base canonica)
e te ne convincerai.
Hai proprio ragione! o.o
Moltiplicando la matrice associata 'giusta' con i vettori della base canonica di $R^3$ ho trovato che vengono i coefficienti della formula dell'endomorfismo.
Dunque, per verificare che io abbia scritto bene la mia matrice associata, devo prima calcolare l'immagine del vettore $(1,0,0)$ alla funzione espicita, poi verificare con il prodotto tra le due matrici, cioè la $B*v$ per vedere se è giusto.
Dunque, sbagliando la disposizione dei coefficienti della matrice sbagliata, però il determinante è lo stesso e il ragionamento fatto all'inizio vale lo stesso.
Il problema incomincerebbe a sussistere nel trovare gli autovalori e autospazi?
(in quanto è l'esercizio successivo).
Moltiplicando la matrice associata 'giusta' con i vettori della base canonica di $R^3$ ho trovato che vengono i coefficienti della formula dell'endomorfismo.
Dunque, per verificare che io abbia scritto bene la mia matrice associata, devo prima calcolare l'immagine del vettore $(1,0,0)$ alla funzione espicita, poi verificare con il prodotto tra le due matrici, cioè la $B*v$ per vedere se è giusto.
Dunque, sbagliando la disposizione dei coefficienti della matrice sbagliata, però il determinante è lo stesso e il ragionamento fatto all'inizio vale lo stesso.
Il problema incomincerebbe a sussistere nel trovare gli autovalori e autospazi?
(in quanto è l'esercizio successivo).
il problema è che la matrice è sbagliata, e quindi l'esercizio è tutto sbagliato.
poi hai fortuna perchè molte cose si mantengono per trasposizione, come il determinante, e altre cose. (tra cui gli autovalori, visto che son decisi da un determinante pure loro).
fallo con la matrice giusta, e soprattutto capisci bene dove sbagliavi, e poi allora va bene.
poi hai fortuna perchè molte cose si mantengono per trasposizione, come il determinante, e altre cose. (tra cui gli autovalori, visto che son decisi da un determinante pure loro).
fallo con la matrice giusta, e soprattutto capisci bene dove sbagliavi, e poi allora va bene.
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