Esercizio su connessi e connessi per archi
Ciao ragazzi avrei bisogno di un aiutino con questo simpatico esercizio:
Sia $ X=AUB $ il sottospazio di R^2 con $ A=[-1,1] $ e $ B= {(x,y) t.c 0
GRAZIEE!!!!!! :D
Sia $ X=AUB $ il sottospazio di R^2 con $ A=[-1,1] $ e $ B= {(x,y) t.c 0
GRAZIEE!!!!!! :D
Risposte
Suppongo che su [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex] consideri la topologia naturale! -_- Attenzione a specificarlo all'esame, eh!
Hai scritto male [tex]$A$[/tex], sicuramente vuoi porre [tex]$A=\{0\}\times[-1;1]$[/tex]?!
Domande che ti aiutano: [tex]$B$[/tex] è connesso? È [tex]$A\cup B$[/tex] la chiusura di [tex]$B$[/tex]?
BONUS: questo spazio topologico è detto serpente topologico od anche seno topologico.
Hai scritto male [tex]$A$[/tex], sicuramente vuoi porre [tex]$A=\{0\}\times[-1;1]$[/tex]?!
Domande che ti aiutano: [tex]$B$[/tex] è connesso? È [tex]$A\cup B$[/tex] la chiusura di [tex]$B$[/tex]?
BONUS: questo spazio topologico è detto serpente topologico od anche seno topologico.
Si hai ragione scusa le imprecisioni!
ok quindi credo di aver capito che essendo $ B $ connesso ed essendo $ AUB $ la chiusura di $ B $ anch'esso è connesso.
Ma ma come faccio a dimostrare che non è connesso per archi? E' sufficiente dire che se prendo un punto di $ A $ e un punto di $ B $ non esiste un arco che li collega? Oppure posso dire che essendo $ A $ e $ B $ due connessi per archi con intersezione vuota $ AUB $ non può essere connesso per archi?
ok quindi credo di aver capito che essendo $ B $ connesso ed essendo $ AUB $ la chiusura di $ B $ anch'esso è connesso.
Ma ma come faccio a dimostrare che non è connesso per archi? E' sufficiente dire che se prendo un punto di $ A $ e un punto di $ B $ non esiste un arco che li collega? Oppure posso dire che essendo $ A $ e $ B $ due connessi per archi con intersezione vuota $ AUB $ non può essere connesso per archi?
Per dimostrare che il serpente topologico è connesso ma non per archi devi per l'appunto dimostrare che non esiste un cammino tra [tex]$A$[/tex] e [tex]$B$[/tex].
La dimostrazione è per assurdo: detto [tex]$(S;\mathcal{A})$[/tex] il serpente topologico, sia [tex]$f:[0;1]\to S$[/tex] un cammino da [tex]$(0;0)$[/tex] a [tex]$\bigg(\frac{1}{\pi};0\bigg)$[/tex]; per definizione è una funzione continua.
Definita [tex]$p_2:(x;y)\in\mathbb{R}^2\to y\in\mathbb{R}$[/tex], sia [tex]$t_0=\sup\{t\in[0;1)\mid(p_2\circ f)(t)=0\}$[/tex], trattandosi di funzioni continue lo è anche [tex]$p_2\circ f$[/tex] quindi per definizione: [tex]$\forall\epsilon>0,\,\exists\delta(\epsilon)>0\mid\forall t\in(t_0;t_0+\delta(\epsilon)),\,|(p_2\circ f)(t)-(p_2\circ f)(t_0)|<\epsilon$[/tex].
Potendo considerare gl'insiemi connessi [tex]$C_{\epsilon}=\{(p_2\circ f)(t)\in\mathbb{R}\mid t\in(t_0;t_0+\delta(\epsilon))\}$[/tex] al variare di [tex]$\epsilon$[/tex] si ha che essi contengono l'intervallo [tex]$(0;(p_2\circ f)(t_0+\delta(\epsilon)))$[/tex], da ciò, al fissare di [tex]$\epsilon$[/tex] si ha che in [tex]$C_{\epsilon}$[/tex] la funzione [tex]$\sin\bigg(\frac{1}{x}\bigg)$[/tex] si annulla infinite volte, quindi anche [tex]$p_2\circ f$[/tex], allora un tale [tex]$t_0$[/tex] non può esistere ciò implica che non esiste il cammino scelto.
Per errori o dubbi non si esiti a domandare.
La dimostrazione è per assurdo: detto [tex]$(S;\mathcal{A})$[/tex] il serpente topologico, sia [tex]$f:[0;1]\to S$[/tex] un cammino da [tex]$(0;0)$[/tex] a [tex]$\bigg(\frac{1}{\pi};0\bigg)$[/tex]; per definizione è una funzione continua.
Definita [tex]$p_2:(x;y)\in\mathbb{R}^2\to y\in\mathbb{R}$[/tex], sia [tex]$t_0=\sup\{t\in[0;1)\mid(p_2\circ f)(t)=0\}$[/tex], trattandosi di funzioni continue lo è anche [tex]$p_2\circ f$[/tex] quindi per definizione: [tex]$\forall\epsilon>0,\,\exists\delta(\epsilon)>0\mid\forall t\in(t_0;t_0+\delta(\epsilon)),\,|(p_2\circ f)(t)-(p_2\circ f)(t_0)|<\epsilon$[/tex].
Potendo considerare gl'insiemi connessi [tex]$C_{\epsilon}=\{(p_2\circ f)(t)\in\mathbb{R}\mid t\in(t_0;t_0+\delta(\epsilon))\}$[/tex] al variare di [tex]$\epsilon$[/tex] si ha che essi contengono l'intervallo [tex]$(0;(p_2\circ f)(t_0+\delta(\epsilon)))$[/tex], da ciò, al fissare di [tex]$\epsilon$[/tex] si ha che in [tex]$C_{\epsilon}$[/tex] la funzione [tex]$\sin\bigg(\frac{1}{x}\bigg)$[/tex] si annulla infinite volte, quindi anche [tex]$p_2\circ f$[/tex], allora un tale [tex]$t_0$[/tex] non può esistere ciò implica che non esiste il cammino scelto.
Per errori o dubbi non si esiti a domandare.
Grazie mille sei stato davvero chiaro!! 
Ho commesso due sviste, di cui una evidente. 
Ho ricopiato dai miei appunti.
Ora, oltre ad esserti chiaro, è corretto.
Prego, di nulla!
Ho ricopiato dai miei appunti.Ora, oltre ad esserti chiaro, è corretto.
Prego, di nulla!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo