Esercizio su combinazione lineare di vettori
Salve a tutti!
Ho cercato sul forum esempi/argomenti già aperti simili al mio esercizio ma finora non ho trovato nulla perciò ho pensato (sperando di non aver fatto male) di aprire questo.
Ho un dubbio su un esercizio sulla combinazione lineare di vettori e spero che qualcuno possa aiutarmi
Sono dati i seguenti vettori $\vec a$ = $((1,-1,1))$, $\vec b$ = $((1,1,-1))$ e $\vec c$ = $((-1,k,1))$ con
k $in$ $RR$. Determinati i valori di k per cui il set di vettori è linearmente indipendente, rappresentare il vettore $\vec d$ = $((2,1,-3))$ come combinazione lineare di $\vec a$, $\vec b$ e $\vec c$.
Allora io ho creato la matrice con questi vettori riga e ne ho calcolato il determinante che, per far si che il set di vettori sia L.I., dev'essere $k$ $\ne$ -1. Fatto ciò dovrei scrivere il vettore $\vec d$ come:
$a_1$ $\vec a$ + $a_2$ $\vec b$ + $a_3$ $\vec c$ = $\vec d$ con $a_1$, $a_2$, $a_3$ $in$ $RR$.
Ora la mia domanda è questa: per scrivere il vettore come C.L. dei tre devo costruire un sistema tipo questo:
$\{( $a_1$ ax + $a_2$ bx + $a_3$ cx = dx),( $a_1$ ay + $a_2$ by + $a_3$ cy = dy),( $a_1$ az + $a_2$ bz + $a_3$ cz = dz):}$
e calcolare i tre scalari?
Sperando di non aver fatto errori nella scrittura delle formule vi ringrazio in anticipo
Ho cercato sul forum esempi/argomenti già aperti simili al mio esercizio ma finora non ho trovato nulla perciò ho pensato (sperando di non aver fatto male) di aprire questo.
Ho un dubbio su un esercizio sulla combinazione lineare di vettori e spero che qualcuno possa aiutarmi
Sono dati i seguenti vettori $\vec a$ = $((1,-1,1))$, $\vec b$ = $((1,1,-1))$ e $\vec c$ = $((-1,k,1))$ con
k $in$ $RR$. Determinati i valori di k per cui il set di vettori è linearmente indipendente, rappresentare il vettore $\vec d$ = $((2,1,-3))$ come combinazione lineare di $\vec a$, $\vec b$ e $\vec c$.
Allora io ho creato la matrice con questi vettori riga e ne ho calcolato il determinante che, per far si che il set di vettori sia L.I., dev'essere $k$ $\ne$ -1. Fatto ciò dovrei scrivere il vettore $\vec d$ come:
$a_1$ $\vec a$ + $a_2$ $\vec b$ + $a_3$ $\vec c$ = $\vec d$ con $a_1$, $a_2$, $a_3$ $in$ $RR$.
Ora la mia domanda è questa: per scrivere il vettore come C.L. dei tre devo costruire un sistema tipo questo:
$\{( $a_1$ ax + $a_2$ bx + $a_3$ cx = dx),( $a_1$ ay + $a_2$ by + $a_3$ cy = dy),( $a_1$ az + $a_2$ bz + $a_3$ cz = dz):}$
e calcolare i tre scalari?
Sperando di non aver fatto errori nella scrittura delle formule vi ringrazio in anticipo
Risposte
Al posto di $a_i$ userò $x_i$
Il sistema $ x_1( ( 1 ),( -1 ),( 1 ) ) +x_2( ( 1 ),( 1 ),( -1 ) )+x_3( ( -1 ),( k ),( 1 ) )=( ( 2 ),( 1 ),( -3 ) ) $
è la medesima cosa di $ ( ( 1 , 1 , -1 ),( -1 , 1 , k ),( 1 , -1 , 1 ) ) ( ( x_1 ),( x_2 ),( x_3 ) ) =( ( 2 ),( 1 ),( -3 ) ) $
e per $k!=-1$ ha un'unica soluzione:
$x_1=-1/2$
$x_2=(5k+1)/(2(k+1)$
$x_3=-2/(k+1)$
Il sistema $ x_1( ( 1 ),( -1 ),( 1 ) ) +x_2( ( 1 ),( 1 ),( -1 ) )+x_3( ( -1 ),( k ),( 1 ) )=( ( 2 ),( 1 ),( -3 ) ) $
è la medesima cosa di $ ( ( 1 , 1 , -1 ),( -1 , 1 , k ),( 1 , -1 , 1 ) ) ( ( x_1 ),( x_2 ),( x_3 ) ) =( ( 2 ),( 1 ),( -3 ) ) $
e per $k!=-1$ ha un'unica soluzione:
$x_1=-1/2$
$x_2=(5k+1)/(2(k+1)$
$x_3=-2/(k+1)$
"Bokonon":
Al posto di $a_i$ userò $x_i$
Il sistema $ x_1( ( 1 ),( -1 ),( 1 ) ) +x_2( ( 1 ),( 1 ),( -1 ) )+x_3( ( -1 ),( k ),( 1 ) )=( ( 2 ),( 1 ),( -3 ) ) $
è la medesima cosa di $ ( ( 1 , 1 , -1 ),( -1 , 1 , k ),( 1 , -1 , 1 ) ) ( ( x_1 ),( x_2 ),( x_3 ) ) =( ( 2 ),( 1 ),( -3 ) ) $
e per $k!=-1$ ha un'unica soluzione:
$x_1=-1/2$
$x_2=(5k+1)/(2(k+1)$
$x_3=-2/(k+1)$
Perfetto, grazie mille per la risposta
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