Esercizio su basi e sottospazi di polinomi
Si ponga
E = {p£R4[x]| gr(p)<=3, p(1)=0}
F = {p£R4[x]| gr(p)>=2, p(1)=0}U{0}
a) Provare che E è un sottospazio vettoriale di R4[x]. Determinarne una base
B.
b) Si determini la matrice associata, rispetto alla base B determinata sopra,
all’endomorfismo f : E -> E tale che
per ogni p£E f(p)(x) = p(2x − 1).
c) Stabilire se F è un sottospazio.
E = {p£R4[x]| gr(p)<=3, p(1)=0}
F = {p£R4[x]| gr(p)>=2, p(1)=0}U{0}
a) Provare che E è un sottospazio vettoriale di R4[x]. Determinarne una base
B.
b) Si determini la matrice associata, rispetto alla base B determinata sopra,
all’endomorfismo f : E -> E tale che
per ogni p£E f(p)(x) = p(2x − 1).
c) Stabilire se F è un sottospazio.
Risposte
a) $E = \{ p \in R_4[x] | gr(p) \le 3, p(1) = 0 \}$
Siano $p(x), q(x) \in E$, allora anche $(p+q)(x) \in E$, poiché naturalmente sarà sempre di grado minore di 3, e visto che $(p+q)(x) := p(x) + q(x)$, allora, $(p+q)(1) = p(1) + q(1) = 0 + 0 = 0$. Inoltre per definizione abbiamo che per ogni $a \in RR$, $(a p)(x) := a* p(x)$, e quindi $(a p)(1) = a *p(1) = a*0 = 0$, e naturalmente il grado sarà sempre minore di 3.
$E$ è quindi un sottospazio vettoriale di $R_4[x]$
Ogni polinomio con grado minore o uguale a 3 che appartiene a E ha la forma:
$p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, con la condizione che $p(1) = a + b + c + d = 0$, per cui:
$p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + (-a -b -c)$
L'ultimo coefficiente lo puoi esprimere dunque in funzione degli altri 3.
È quindi facile verificare che la dimensione è 3, per cui una possibile base può essere:
$p_1(x) = x - 1$
$p_2(x) = x^2 - 1$
$p_3(x) = x^3 - 1$
Dimostriamo che sono linearmente indipendenti:
$c_1*(x-1) + c_2*(x^2-1) + c_3*(x^3 - 1) = 0$
Implica confrontando i coefficienti:
$c_1 + c_2 + c_3 = 0$
$c_1 = 0$
$c_2 = 0$
$c_3 = 0$
e quindi sono linearmente indipendenti.
b) $f: E \to E$
$f(p(x)) = p(2x-1)$
Le immagini dei vettori di base sono le colonne della matrice che cerchi rispetto alla tua base.
$f(x-1) = (2x-1) - 1 = 2x - 2 = 2(x-1)$
$f(x^2 -1) = (2x-1)^2 - 1 = 4x^2 - 2x - 1 -1 = 4x^2 -2x - 2 = 4(x^2 - 1) - 2(x-1)$
$f(x^3-1) = (2x-1)^3 -1 = 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 -1 = 8(x^3-1) - 12(x^2 -1) + 6(x-1)$
Identificando con un isomorfismo $E \cong RR^3$, hai quindi:
$x-1 \cong (1,0,0)$
$x^2-1 \cong (0,1,0)$
$x^3-1 \cong (0,0,1)$
hai che
$f((1,0,0)) = (2,0,0)$
$f((0,1,0)) = (-2,4,0)$
$f((0,0,1)) = (6, -12, 8)$
La matrice è quindi:
$A = ((2,-2,6),(0,4,-12),(0,0,8))$
Siano $p(x), q(x) \in E$, allora anche $(p+q)(x) \in E$, poiché naturalmente sarà sempre di grado minore di 3, e visto che $(p+q)(x) := p(x) + q(x)$, allora, $(p+q)(1) = p(1) + q(1) = 0 + 0 = 0$. Inoltre per definizione abbiamo che per ogni $a \in RR$, $(a p)(x) := a* p(x)$, e quindi $(a p)(1) = a *p(1) = a*0 = 0$, e naturalmente il grado sarà sempre minore di 3.
$E$ è quindi un sottospazio vettoriale di $R_4[x]$
Ogni polinomio con grado minore o uguale a 3 che appartiene a E ha la forma:
$p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, con la condizione che $p(1) = a + b + c + d = 0$, per cui:
$p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + (-a -b -c)$
L'ultimo coefficiente lo puoi esprimere dunque in funzione degli altri 3.
È quindi facile verificare che la dimensione è 3, per cui una possibile base può essere:
$p_1(x) = x - 1$
$p_2(x) = x^2 - 1$
$p_3(x) = x^3 - 1$
Dimostriamo che sono linearmente indipendenti:
$c_1*(x-1) + c_2*(x^2-1) + c_3*(x^3 - 1) = 0$
Implica confrontando i coefficienti:
$c_1 + c_2 + c_3 = 0$
$c_1 = 0$
$c_2 = 0$
$c_3 = 0$
e quindi sono linearmente indipendenti.
b) $f: E \to E$
$f(p(x)) = p(2x-1)$
Le immagini dei vettori di base sono le colonne della matrice che cerchi rispetto alla tua base.
$f(x-1) = (2x-1) - 1 = 2x - 2 = 2(x-1)$
$f(x^2 -1) = (2x-1)^2 - 1 = 4x^2 - 2x - 1 -1 = 4x^2 -2x - 2 = 4(x^2 - 1) - 2(x-1)$
$f(x^3-1) = (2x-1)^3 -1 = 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 -1 = 8(x^3-1) - 12(x^2 -1) + 6(x-1)$
Identificando con un isomorfismo $E \cong RR^3$, hai quindi:
$x-1 \cong (1,0,0)$
$x^2-1 \cong (0,1,0)$
$x^3-1 \cong (0,0,1)$
hai che
$f((1,0,0)) = (2,0,0)$
$f((0,1,0)) = (-2,4,0)$
$f((0,0,1)) = (6, -12, 8)$
La matrice è quindi:
$A = ((2,-2,6),(0,4,-12),(0,0,8))$
come farei senza di te pat 
Per il punto c) credo che sia un sottospazio, ma non mi viene una dimostrazione rigorosa al momento...
Confermo che $F$ è un sottospazio vettoriale di $RR_4[x]$. La dimostrazione (almeno quella che ho trovato io) è abbastanza simile a quella di pat87 per il primo punto dell'esercizio.
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