Esercizio su basi e sistemi di generatori:
In $RR^4$ sia assegnato il seguente sottoinsieme di vettori S$={(1,-1,0,-1),(0,0,1,0),(1,1,1,1),(1,-1,1,-1),(0,0,0,1),(0,0,1,0)}$
Trovare un sistema di generatori di $RR^4$ che non sia una base.
Allora, intanto ringrazio in anticipo chi vorrà darmi una mano a colmare le mie lacune, poi, vorrei chiedere se è possibile prima di procedere con l'esercizio, se qualcuno di voi, di buon cuore
, può farmi capire bene (cioè praticamente) cos'è un sistema di generatori, perchè teoricamente poco ci ho capito, cioè vorrei capire nell'esercizio come faccio a capire oppure se c'è qualche tecnica pratica per trovarlo. Grazie.
La domanda posta sopra mi ha bloccato in quanto so cos'è una base, ovvero un sistema di vettori linearmente indipendenti, ma ho questo problema nel capire cos'è un sistema di generatori.
Grazie.
Trovare un sistema di generatori di $RR^4$ che non sia una base.
Allora, intanto ringrazio in anticipo chi vorrà darmi una mano a colmare le mie lacune, poi, vorrei chiedere se è possibile prima di procedere con l'esercizio, se qualcuno di voi, di buon cuore
, può farmi capire bene (cioè praticamente) cos'è un sistema di generatori, perchè teoricamente poco ci ho capito, cioè vorrei capire nell'esercizio come faccio a capire oppure se c'è qualche tecnica pratica per trovarlo. Grazie.La domanda posta sopra mi ha bloccato in quanto so cos'è una base, ovvero un sistema di vettori linearmente indipendenti, ma ho questo problema nel capire cos'è un sistema di generatori.
Grazie.
Risposte
Un sistema di generatori è un insieme di vettori che genera lo spazio. Una base è un sistema di generatori i cui vettori sono linearmente indipendenti.
Quindi quello che devi trovare è un insieme di vettori che genera tutto $RR^4$ ma che non sono linearmente indipendenti. Il metodo più comodo è prendere una base qualsiasi e aggiungerci un vettore.
Quindi quello che devi trovare è un insieme di vettori che genera tutto $RR^4$ ma che non sono linearmente indipendenti. Il metodo più comodo è prendere una base qualsiasi e aggiungerci un vettore.
Mi puoi spiegare meglio cosa intendi con "genera lo spazio". (mi scuso in anticipo se la domanda è scema, ma devo trovare una risposta chiara e definitiva a tutte le mie piccole incertezze).
Quindi praticamente, facendo i calcoli ho trovato che $B={(1,-1,0,-1),(0,0,1,0),(1,1,1,1),(1,-1,1,-1)}$ è una base, e da come tu mi hai consigliato aggiungo un qualunque altro vettore di S e trovo quello che cercavo.
Quindi praticamente, facendo i calcoli ho trovato che $B={(1,-1,0,-1),(0,0,1,0),(1,1,1,1),(1,-1,1,-1)}$ è una base, e da come tu mi hai consigliato aggiungo un qualunque altro vettore di S e trovo quello che cercavo.
Altra domanda:
L'esercizio mi richiede anche di trovare un sistema di vettori linearmente indipendenti che però non sia una base.
E anche qui mi blocco perchè dalla definizione di base, non dovrebbe essere impossibile rispondere alla domanda? Nel senso che: anche se trovo un sistema di vettori lin.indip. esso non è una base?
Help...
L'esercizio mi richiede anche di trovare un sistema di vettori linearmente indipendenti che però non sia una base.
E anche qui mi blocco perchè dalla definizione di base, non dovrebbe essere impossibile rispondere alla domanda? Nel senso che: anche se trovo un sistema di vettori lin.indip. esso non è una base?
Help...
un sistema di vettori linearmente indipendenti non è necessariamente un sistema di generatori. Per esempio 3 vettori di $RR^4$ linearmente indipendenti non sono una base
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