Esercizio su basi di un insieme
salve a tutti! Provavo a svolgere il seguente problema:
Conosco la definizione di base e so che un insieme di vettori per poter essere considerato una base deve essere sottospazio dell'insieme dato, quindi i vettori devono essere un sistema di generatori dell'insieme e, inoltre, devono essere linearmente indipendenti. Ora, per risolvere l'esercizio,devo dimostrare che quei vettori siano un sottospazio di $RR^2$ e che siano linearmente indipendenti? Grazie per eventuali conferme:)
Conosco la definizione di base e so che un insieme di vettori per poter essere considerato una base deve essere sottospazio dell'insieme dato, quindi i vettori devono essere un sistema di generatori dell'insieme e, inoltre, devono essere linearmente indipendenti. Ora, per risolvere l'esercizio,devo dimostrare che quei vettori siano un sottospazio di $RR^2$ e che siano linearmente indipendenti? Grazie per eventuali conferme:)
Risposte
In realtà è ancora più semplice! 
Basta ricordare che $RR^2$ è uno spazio vettoriale di dimensione $2$, inoltre la dimensione di uno spazio vettoriale non è altro che la cardinalità di una sua qualunque base.
Ora, questi insiemi dati hanno tutti cardinalità $2$ quindi basta verificare solo la lineare indipendenza: se la soddisfano allora sono automaticamente una base per $RR^2$!
Quindi precisando un attimo (sia $X$ uno dei tuoi insiemi ):
$X$ è base di $RR^2$ $<=>X$ è un sistema di generatori per $RR^2$ ($L(X)=RR^2$) e $X$ è linearmente indipendente.
In questo caso $AA X$ $card(X)=2$.
In generale una n-pla linearmente indipendente genera uno spazio vettoriale di dimensione $n$.
Ed inoltre $dim(RR^2)=2$ (in generale $dim(RR^n)=n$).
Se $X$ è linearmente indipendente $dim(L(X))=2=dim(RR^2)$ e quindi $L(X)=RR^2$.
p.s. naturalmente puoi anche verificare solo che sia un sistema di generatori e il fatto che sia linearmente indipendente ti viene in automatico.
Basta ricordare che $RR^2$ è uno spazio vettoriale di dimensione $2$, inoltre la dimensione di uno spazio vettoriale non è altro che la cardinalità di una sua qualunque base.
Ora, questi insiemi dati hanno tutti cardinalità $2$ quindi basta verificare solo la lineare indipendenza: se la soddisfano allora sono automaticamente una base per $RR^2$!
Quindi precisando un attimo (sia $X$ uno dei tuoi insiemi ):
$X$ è base di $RR^2$ $<=>X$ è un sistema di generatori per $RR^2$ ($L(X)=RR^2$) e $X$ è linearmente indipendente.
In questo caso $AA X$ $card(X)=2$.
In generale una n-pla linearmente indipendente genera uno spazio vettoriale di dimensione $n$.
Ed inoltre $dim(RR^2)=2$ (in generale $dim(RR^n)=n$).
Se $X$ è linearmente indipendente $dim(L(X))=2=dim(RR^2)$ e quindi $L(X)=RR^2$.
p.s. naturalmente puoi anche verificare solo che sia un sistema di generatori e il fatto che sia linearmente indipendente ti viene in automatico.
"lordb":
p.s. naturalmente puoi anche verificare solo che sia un sistema di generatori e il fatto che sia linearmente indipendente ti viene in automatico.
Come si verifica che è un sistema di generatori? Grazie mille per la risposta^.^
Devi verificare che qualsiasi vettore di $RR^2$ possa essere visto come una particolare combinazione lineare di quella coppia di vettori:
es: nel tuo caso hai $X={(2,1),(1,1)}$
sia $(x,y)inRR^2$ e $alpha,betainRR$ allora
$(x,y)=alpha(2,1)+beta(1,1)$
$(x,y)=(2alpha,alpha)+(beta,beta)$
$(x,y)=(2alpha+beta,alpha+beta)$
${(x=2alpha+beta),(y=alpha+beta):}$ ${(alpha=x-y),(beta=2y-x):}$ $AA(x,y)inRR^2$
Infatti $AA(x,y)inRR^2$ $(x,y)=(x-y)*(2,1)+(2y-x)*(1,1)=(2x-2y,x-y)+(2y-x,2y-x)=(x,y)$.
es: nel tuo caso hai $X={(2,1),(1,1)}$
sia $(x,y)inRR^2$ e $alpha,betainRR$ allora
$(x,y)=alpha(2,1)+beta(1,1)$
$(x,y)=(2alpha,alpha)+(beta,beta)$
$(x,y)=(2alpha+beta,alpha+beta)$
${(x=2alpha+beta),(y=alpha+beta):}$ ${(alpha=x-y),(beta=2y-x):}$ $AA(x,y)inRR^2$
Infatti $AA(x,y)inRR^2$ $(x,y)=(x-y)*(2,1)+(2y-x)*(1,1)=(2x-2y,x-y)+(2y-x,2y-x)=(x,y)$.
Ok, grazie:)
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