Esercizio su base

[matilde081]

E' giusto fare così??
Ho un'applicazione lineare da K3 a K3 definita da f(x,y,z)=(x+2y,z,3x)

Per trovare una base ho sostituito ad x, y e z per tre volte (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1) e mi è venuto che una base è {(1,0,3),(2,0,0),(0,1,0)}...è giusto fare così??

grazie

[matilde081]

Ancora una cosa...come trovo Imf?

[zio_paperone]

si´ e´ giusto, ma bisogana capire cosa intendi col "trovare una base"

i primi tre vettori sono la base canonica. quindi una base per lo spazio di partenza (dominio).

quindi hai trovato l´immagine di questi tre vettori. Questi sono una base per lo spazio d´arrivo (immagine), qindi per $Im(f)$

In questo caso specifico lo spazio di partenza coincide con lo spazio di arrivo

[Lord K]

Fai bene ed è corretto!

Poi per quanto riguarda $Imf$ hai che i vettori immagine della base di $RR^3$ vanno in altri vettori linearmente indipendenti sempre in $RR^3$. Quindi: $Imf=RR^3$

[Lord K]

Risposta in contemporanea con lo zione ^_^

[matilde081]

l esercizio mi chiede di trovare una base e la dim di kerf e di imf.

[zio_paperone]

L´immagine si e´ detto che e´ $R^3$, e una base l´hai gia´ trovata

Pertanto se la dimensione del dominio e´ 3 e la dimensione dell´immagine e´ 3 (hai tre vettori linearmente indipendenti per base), deve essere che la dimensione del nucleo e´ zero.
per il famoso teorema bla bla.. 3= 3+0