Esercizio su autovettori

[jacksparrow444]

Ciao a tutti...
sono alle prese con questo esercizio da ormai 15 giorni e non riesco a venirne a capo

Sia $A$ una matrice quadrata con un autovettore $\nu$ relativo all’autovalore $\lambda$ = 2.
a) $\nu$ è anche autovettore della matrice $A^3$
b) $\nu$ è autovettore della matrice M = $A^3$ − $3*A$
c) $\nu$ è autovettore della matrice $A^2$ corrispondente all’autovalore $\lambda$ =$sqrt(2)$
d) $\nu$ è autovettore della matrice M = $A$ + $2*I$ corrispondente all’autovalore $\lambda$ = $2$

Le risposte corrette date dal mio prof. sono:
a) FALSA
b) VERA
c) VERA
d) FALSA

Ho provato e riprovato ma a me risultano VERA, VERA, FALSA, FALSA...dov'è che sbaglio?

[Bokonon]

Non sbagli...se il problema è quello.

[marcorossi94]

a)
$A^3*v=A^2*A*v=A^2*2v=2*A*A*v=2*A*2v=4*A*v=4*2v=8v$
Non capisco perché dovrebbe essere falsa

In generale ad occhio mi verrebbe da dire che se $v$ è autovettore secondo $\lambda$ di $A$; allora $v$ è autovettore secondo $\lambda ^n$ di $A^n$

[jacksparrow444]

"marcorossi94":a)
$A^3*v=A^2*A*v=A^2*2v=2*A*A*v=2*A*2v=4*A*v=4*2v=8v$
Non capisco perché dovrebbe essere falsa

In generale ad occhio mi verrebbe da dire che se $v$ è autovettore secondo $\lambda$ di $A$; allora $v$ è autovettore secondo $\lambda ^n$ di $A^n$

E' esattamente come ho ragionato io...invece per la 4 c) ho usato una matrice triangolare per trovare almeno un caso in cui non è soddisfatta per cui deve essere FALSA...questa è la matrice triangolare che ho usato:
$A$=$((1,3),(0,2))$ ...gli autovalori sono $1$ e $2$...a $2$ corrisponde l'autovettore $v$
$A^2$=$((1,9),(0,4))$ ...gli autovalori sono $1$ e $4$...a $4$ corrisponde l'autovettore $v$...l'autovalore $sqrt(2)$ non c'è in questo caso, per cui la 4 c) non è VERA sempre e quindi è FALSA.

Ma ovviamente si potrebbe discuterne come hai fatto tu, ragionando per tutte le matrici $A^2$ per vedere che, detto $v$ l'autovettore di $A$ corrispondente all'autovalore $\lambda$, l'autovalore di una matrice $A^2$ corrispondente allo stesso autovettore $v$ è $\lambda^2$ e non $sqrt(λ)$

[Magma1]

"marcorossi94":
se $v$ è autovettore secondo $\lambda$ di $A$; allora $v$ è autovettore secondo $\lambda ^n$ di $A^n$

Ammesso che $A in M_n (RR)$ sia diagonalizzabile, cioè esiste $D:=B^(-1)AB ,qquad B in GL_n (RR)$; quindi

$A=BDB^(-1) rArr A^k=BD^k B^(-1) $

[jacksparrow444]

"Magma":[quote="marcorossi94"]
se $v$ è autovettore secondo $\lambda$ di $A$; allora $v$ è autovettore secondo $\lambda ^n$ di $A^n$

Ammesso che $A in M_n (RR)$ sia diagonalizzabile:

$A=BDB^(-1) rArr A^k=BD^k B^(-1), qquad B in GL_n (RR)$

[/quote]
Questo cosa implica?

[Magma1]

Significa che l'osservazione di marcorossi94 è valida in via generale solo per matrici diagonalizzabili, cioè per matrici simili a matrici diagonali.


P.S. ho modificato il post precedente

[Bokonon]

"Magma":Significa che l'osservazione di marcorossi94 è valida in via generale solo per matrici diagonalizzabili, cioè per matrici simili a matrici diagonali.

Falso

[Magma1]

"Bokonon":
Falso

Nutella!

[jacksparrow444]

"Magma":Significa che l'osservazione di marcorossi94 è valida in via generale solo per matrici diagonalizzabili, cioè per matrici simili a matrici diagonali.


P.S. ho modificato il post precedente

Ma il fatto che sia diagonalizzabile o meno non influisce sulla definizione di autovalore e quindi su quello che ha detto marcorossi94...o sbaglio?

[Bokonon]

"Keanu88":
Ma il fatto che sia diagonalizzabile o meno non influisce sulla definizione di autovalore e quindi su quello che ha detto marcorossi94...o sbaglio?

Non sbagli affatto. Tutte le matrici hanno autovettori. Se poi capita che ve ne siano a sufficienza per creare una base, allora possiamo anche usarli per effettuare un cambio di base davvero significativo e comodo per analizzare qualsiasi cosa stiamo analizzando, ovvero la diagonalizzazione.
Ma le due cose sono totalmente separate: v è un autovettore di A sia che che vene siano altri o meno.

[Magma1]

"Keanu88":Ma il fatto che sia diagonalizzabile o meno non influisce sulla definizione di autovalore e quindi su quello che ha detto marcorossi94...o sbaglio?

No hai ragione; avevo letto male io il commento di marcorossi94