Esercizio su autovalori ed autovettori
Sia$ f : R^3 ->R^3 $ l’ endomorfismo definito da f(x, y, z) = (x+y, y+z, x+z).
Calcolare gli autovalori ed una base per ogni autospazio di f. Dire se f `e un endomorfismo
semplice.
La matrice associata all'applicazione è: $ ( ( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ),( 1 , 0 , 1 ) ) $
Per trovare gli autovalori svolgo il determinate rispetto alla prima colonna e alla prima riga della matrice: $ ( ( 1-lambda , 1 , 0 ),( 0 , 1-lambda , 1 ),( 1 , 0 , 1-lambda ) ) $
e risulta essere: $ (1-lambda)det( ( 1-lambda , 1 ),( 0 , 1-lambda ) ) $
quindi: $(1-lambda)^3$ secondo i miei calcoli.
Allora la unica soluzione è $lambda=1$. Questo secondo i miei calcoli. Secondo i risultati del libro risulta $lambda = \( \lambda _1=2;\lambda _2=(1+i\surd3)/2; \lambda _3=(1-i\surd3)/2 \)
Non riesco a capire dove sbaglio...
Calcolare gli autovalori ed una base per ogni autospazio di f. Dire se f `e un endomorfismo
semplice.
La matrice associata all'applicazione è: $ ( ( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ),( 1 , 0 , 1 ) ) $
Per trovare gli autovalori svolgo il determinate rispetto alla prima colonna e alla prima riga della matrice: $ ( ( 1-lambda , 1 , 0 ),( 0 , 1-lambda , 1 ),( 1 , 0 , 1-lambda ) ) $
e risulta essere: $ (1-lambda)det( ( 1-lambda , 1 ),( 0 , 1-lambda ) ) $
quindi: $(1-lambda)^3$ secondo i miei calcoli.
Allora la unica soluzione è $lambda=1$. Questo secondo i miei calcoli. Secondo i risultati del libro risulta $lambda = \( \lambda _1=2;\lambda _2=(1+i\surd3)/2; \lambda _3=(1-i\surd3)/2 \)
Non riesco a capire dove sbaglio...
Risposte
Sbagli nel calcolo del determinante. Immagino tu abbia sviluppato lungo la prima riga: hai scordato il pezzo $$-1\det \begin{pmatrix}0&1 \\ 1 &1-\lambda\end{pmatrix}$$
@Mandiatutti,
ho fatto i calcoli, ed il determinante eseguendo Laplace rispetto alla prima riga è $$ (1-\lambda)\cdot \det \begin{Vmatrix}
1 - \lambda & 1\\
0& 1-\lambda
\end{Vmatrix} - 1 \cdot \det \begin{Vmatrix}
0 & 1\\
1 & 1-\lambda
\end{Vmatrix} = (1-\lambda)^3+1$$ l'equazione associata è $$(1-\lambda)^3+1=0$$ .. come vedi cambia tutto!
Saluti
P.S.=Quello mi sembra somma di due cubi!
(Buon lavoro)
"Mandiatutti":
Sia$ f : R^3 ->R^3 $ l’ endomorfismo definito da f(x, y, z) = (x+y, y+z, x+z).
Calcolare gli autovalori ed una base per ogni autospazio di f. Dire se f `e un endomorfismo
semplice.
La matrice associata all'applicazione è: $ ( ( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ),( 1 , 0 , 1 ) ) $
Per trovare gli autovalori svolgo il determinate rispetto alla prima colonna e alla prima riga della matrice: $ ( ( 1-lambda , 1 , 0 ),( 0 , 1-lambda , 1 ),( 1 , 0 , 1-lambda ) ) $
e risulta essere: $ (1-lambda)det( ( 1-lambda , 1 ),( 0 , 1-lambda ) ) $
quindi: $(1-lambda)^3$ secondo i miei calcoli.
Allora la unica soluzione è $lambda=1$. Questo secondo i miei calcoli. Secondo i risultati del libro risulta $lambda = \( \lambda _1=2;\lambda _2=(1+i\surd3)/2; \lambda _3=(1-i\surd3)/2 \)
Non riesco a capire dove sbaglio...
ho fatto i calcoli, ed il determinante eseguendo Laplace rispetto alla prima riga è $$ (1-\lambda)\cdot \det \begin{Vmatrix}
1 - \lambda & 1\\
0& 1-\lambda
\end{Vmatrix} - 1 \cdot \det \begin{Vmatrix}
0 & 1\\
1 & 1-\lambda
\end{Vmatrix} = (1-\lambda)^3+1$$ l'equazione associata è $$(1-\lambda)^3+1=0$$ .. come vedi cambia tutto!
Saluti
P.S.=Quello mi sembra somma di due cubi!
(Buon lavoro)
Eh già! 
Grazie mille!
Grazie mille!
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