Esercizio su autovalori e diagonalizzabilità
data la seguente matrice trovare gli autovalori al variare di a<0 e stabilire per quali valori a<0 la matrice è diagonalizzabile.
per il primo punto arrivo a trovare Lambda1=2, Lambda2=1, Lambda3=a, Lambda4=-a però non so come comportarmi con la condizione del testo a<0.
e per il secondo punto?immagino che dovrò discutere sul fatto che ho 4 autovalori distinti..ma come?
sono alle prime armi con la materia
Grazie a tutti
per il primo punto arrivo a trovare Lambda1=2, Lambda2=1, Lambda3=a, Lambda4=-a però non so come comportarmi con la condizione del testo a<0.
e per il secondo punto?immagino che dovrò discutere sul fatto che ho 4 autovalori distinti..ma come?
sono alle prime armi con la materia
Grazie a tutti
Risposte
Allora: gli autovalori che hai trovato, ammesso che anche io non abbia sbagliato i calcoli, sono giusti.
Uno dei criteri di diagonalizzabilità dice:
Se tutti gli autovalori appartengono al campo in cui stai lavorando, e la molteplicità algebrica di ciascuno coincide con quella geometrica, allora la matrice è diagonalizzabile (perchè trovi una base di autovettori)
Dato che hai 4 autovalori, la tua matrice è diagonalizzabile a patto che essi siano distinti fra loro.
(Questo perchè la molteplicità geometrica è sempre compresa tra 1 e la molteplicità algebrica. Se gli autovalori sono tutti diversi, allora molteplicità algebrica coincide per forza con quella geometrica.)
Tuttavia, se a = -1 oppure a = -2, la molteplicità algebrica degli autovalori 1 o 2 diventerebbe uguale a 2.
Bisogna quindi verificare la molteplicità geometrica di questi autovalori. In entrambi i casi non è uguale a 2.
Se dunque, a discapito dell'ora non ho commesso errori grossolani... la risposta è: La matrice è diagonalizzabile per a diverso da -1 e -2.
Uno dei criteri di diagonalizzabilità dice:
Se tutti gli autovalori appartengono al campo in cui stai lavorando, e la molteplicità algebrica di ciascuno coincide con quella geometrica, allora la matrice è diagonalizzabile (perchè trovi una base di autovettori)
Dato che hai 4 autovalori, la tua matrice è diagonalizzabile a patto che essi siano distinti fra loro.
(Questo perchè la molteplicità geometrica è sempre compresa tra 1 e la molteplicità algebrica. Se gli autovalori sono tutti diversi, allora molteplicità algebrica coincide per forza con quella geometrica.)
Tuttavia, se a = -1 oppure a = -2, la molteplicità algebrica degli autovalori 1 o 2 diventerebbe uguale a 2.
Bisogna quindi verificare la molteplicità geometrica di questi autovalori. In entrambi i casi non è uguale a 2.
Se dunque, a discapito dell'ora non ho commesso errori grossolani... la risposta è: La matrice è diagonalizzabile per a diverso da -1 e -2.
Ciao
beh se hai 4 autovalori distinti non c'è problema la matrice è sicuramente diagonalizzabile poiché è possibile individuarne una base di autovettori.
ma se $a=0$ o $a=1 o a=2$avresti solo 3 autovalori distinti$(\lambda_3=\lambda_4)$.. quindi devi considerare quei casi e verificare che per esempio per $a=0$ la molteplicità geometrica(cioè la dimensione dell'autospazio $V_0$) sia effettivamente due.
ti ricordo che $dim(V_\lambda)=n-rg(A-\lambdaI_n)$ ($A-\lambdaI_n$ significa sottrai $\lambda$ sulla diagonale)
inteso A matrice di partenza, $n$ il suo ordine (n=4)
tu devi vedere quindi per quali $a$ il rango di $(A-\lambdaI_n)$ risulta uguale a 2
cosi da avere $dim(V_0)=n-rg(A-0I_n)$ --> $dim(V_0)=4-2=2$
ciaoo
beh se hai 4 autovalori distinti non c'è problema la matrice è sicuramente diagonalizzabile poiché è possibile individuarne una base di autovettori.
ma se $a=0$ o $a=1 o a=2$avresti solo 3 autovalori distinti$(\lambda_3=\lambda_4)$.. quindi devi considerare quei casi e verificare che per esempio per $a=0$ la molteplicità geometrica(cioè la dimensione dell'autospazio $V_0$) sia effettivamente due.
ti ricordo che $dim(V_\lambda)=n-rg(A-\lambdaI_n)$ ($A-\lambdaI_n$ significa sottrai $\lambda$ sulla diagonale)
inteso A matrice di partenza, $n$ il suo ordine (n=4)
tu devi vedere quindi per quali $a$ il rango di $(A-\lambdaI_n)$ risulta uguale a 2
cosi da avere $dim(V_0)=n-rg(A-0I_n)$ --> $dim(V_0)=4-2=2$
ciaoo
Giusto anche a=0 è da considerare come eventualità... ed è da escludere dalla soluzione! Chiedo scusa per l'incompletezza della risposta di prima 
Però attento f4st... a<0 è una condizione del problema.
Quindi i valori da controllare/escludere sono 0, -1, -2... dico bene?
Però attento f4st... a<0 è una condizione del problema.
Quindi i valori da controllare/escludere sono 0, -1, -2... dico bene?
caspita è vero.. mi è sfuggito che si chiedeva solo per a<0
sorry ora vado a nanna che sto dormendo da seduto -.-
ciaoo
sorry
ora vado a nanna che sto dormendo da seduto -.-ciaoo
ringrazio infinitamente entrambi..mi avete illuminato
un ultimo dubbio che mi è rimasto:
sia f4st che i miei appunti dicono che se $dim(V_\lambda)=m(lambda)$ per tutti gli autovalori (m=molteplicità) allora è diagonalizzabile.
ma per trovare $dim(V_\lambda)$ come si fa?sarebbe la dimensione degli autovettori?perchè voi parlate di autospazi ma io non li ho mai sentiti nominare
un ultimo dubbio che mi è rimasto:
sia f4st che i miei appunti dicono che se $dim(V_\lambda)=m(lambda)$ per tutti gli autovalori (m=molteplicità) allora è diagonalizzabile.
ma per trovare $dim(V_\lambda)$ come si fa?sarebbe la dimensione degli autovettori?perchè voi parlate di autospazi ma io non li ho mai sentiti nominare
L'autospazio $v_\lambda$ non è altro che ${v in V: L(v)=\lambdav}$
per quanto riguarda la dimensione leggi bene quanto ho già scritto ( sulla settima riga!! )
ciaoo
per quanto riguarda la dimensione leggi bene quanto ho già scritto ( sulla settima riga!! )
ciaoo
tutto chiaro ora.
grazie a entrambi
grazie a entrambi
confermo la spiegazione di f4st...
Prego, figurati!
grazie a entrambi
Prego, figurati!
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