Esercizio su autovalori e autovettori
ciao a tutti oggi avevo un compito di metodi matematici e tra i vari esercizi c'era quello di geometria che non sono riuscito a fare purtroppo e vorrei mi deste qualche indicazione.
allora data la matrice $L=((0,i,0),(a,0,1),(b,c,0))$ con$a,b,c$ numeri complessi
1)determinare $a,b,c$ in modo tale che $L$ sia hermitiana.
allora ho calcolato la matrice aggiunta:
$L+ = ((0,a°,b°),(-i,0,c°),(0,1,0))$ dove ad esempio $a°$ è il complesso coiugato di $a$ (non so come indicare il classico simbolino per il complesso coniugato)
da cui:
$ a= -i,b=0,c=1 $ per cui : $L=((0,i,0),(-i,0,1),(0,1,0))$ e fin qui ok.
2)determinare $a,b,c$ in modo tale che $e^L$ sia unitaria. (non sapevo da dove comunciare e non so tutt'ora)
3)data la matrice $L$ hermitiana coi coefficienti determinati al punto uno trovare autovalori e autovettori.
allora io comincio trovando gli autovalori ma mi viene : $-\lambda^3 = 0$
ma come trovo gli autovettori?
allora data la matrice $L=((0,i,0),(a,0,1),(b,c,0))$ con$a,b,c$ numeri complessi
1)determinare $a,b,c$ in modo tale che $L$ sia hermitiana.
allora ho calcolato la matrice aggiunta:
$L+ = ((0,a°,b°),(-i,0,c°),(0,1,0))$ dove ad esempio $a°$ è il complesso coiugato di $a$ (non so come indicare il classico simbolino per il complesso coniugato)
da cui:
$ a= -i,b=0,c=1 $ per cui : $L=((0,i,0),(-i,0,1),(0,1,0))$ e fin qui ok.
2)determinare $a,b,c$ in modo tale che $e^L$ sia unitaria. (non sapevo da dove comunciare e non so tutt'ora)
3)data la matrice $L$ hermitiana coi coefficienti determinati al punto uno trovare autovalori e autovettori.
allora io comincio trovando gli autovalori ma mi viene : $-\lambda^3 = 0$
ma come trovo gli autovettori?
Risposte
Ricorda bene: un vettore \(v\in V\) è un autovettore di \(f\) relativo all'autovalore \(\lambda\) se e soltanto se \(v\in \ker(f-\lambda \mathrm{id})\). In altre parole, calcola i generatori di \(\ker(L-\lambda I_3)\).
Per quanto riguarda la matrice esponenziale, ricorda il significato di matrice unitaria e alcune proprietà delle matrici esponenziali (soprattutto inversa e trasposta).
Per quanto riguarda la matrice esponenziale, ricorda il significato di matrice unitaria e alcune proprietà delle matrici esponenziali (soprattutto inversa e trasposta).
ciao Dedekind,
allora per quanto riguarda il calcolo dei generatori sinceramente sono in difficolta anche perchè per calcolarli risolverei il sistema $(L-\lambda I)vecx=0$ ma ciò mi porterebbe nuovamente ad ottenere lo zero come soluzione tripla...
per quanto riguarda l'esponenziale se non sbaglio i coefficienti dovrebbero essere tali che $L$ sia antihermitiana giusto?
allora per quanto riguarda il calcolo dei generatori sinceramente sono in difficolta anche perchè per calcolarli risolverei il sistema $(L-\lambda I)vecx=0$ ma ciò mi porterebbe nuovamente ad ottenere lo zero come soluzione tripla...
per quanto riguarda l'esponenziale se non sbaglio i coefficienti dovrebbero essere tali che $L$ sia antihermitiana giusto?
Per determinare gli autovalori dovresti risolvere la seguente equazione:
$\lambda^3-2\lambda=0$
Come puoi facilmente verificare, si ottengono $3$ autovalori reali semplici. Suppongo che concludere l'esercizio non dovrebbe più essere un problema.
$\lambda^3-2\lambda=0$
Come puoi facilmente verificare, si ottengono $3$ autovalori reali semplici. Suppongo che concludere l'esercizio non dovrebbe più essere un problema.
Riguardo alla matrice esponenziale, hai detto bene. Basta infatti ricordare che \((e^M)^{-1}=e^{-M}\).
"speculor":
Per determinare gli autovalori dovresti risolvere la seguente equazione:
$\lambda^3-2\lambda=0$
Come puoi facilmente verificare, si ottengono $3$ autovalori reali semplici. Suppongo che concludere l'esercizio non dovrebbe più essere un problema.
ma in realtà gli autovalori sono dati da $\lambda^3 =0$..
No, gli autovalori si determinano risolvendo l'equazione che ho scritto. Immagino che tu sappia come ricavarla.
"speculor":
No, gli autovalori si determinano risolvendo l'equazione che ho scritto. Immagino che tu sappia come ricavarla.
beh si tratta di risolvere il sistema: $(L-\lambda I)vecx = 0$
quindi $((-\lambda,i,0),(-i,-\lambda,1),(0,1,-lambda))vecx=0$
ovvero: $det(L-\lambda I)=0$ che mi da ,come dicevo:$-\lambda^3 = 0$
cioè ho usato il solito metodo per calcolare gli autovalori...ma forse non ho capito quello che volevi dirmi.
Scusa, ma secondo te il determinante si calcola moltiplicando tutti gli elementi sulla diagonale principale?
"Richard_Dedekind":
Scusa, ma secondo te il determinante si calcola moltiplicando tutti gli elementi sulla diagonale principale?
no..infatti il determinante è: $-\lambda(\lambda^2 -1)+i(i\lambda) = -\lambda^3$
@qadesh
Ti sei perso un $-$ nell'ultimo termine.
Ti sei perso un $-$ nell'ultimo termine.
Mica tanto. Sviluppando sulla prima colonna:
\[-\lambda (\lambda^2-1)+i(-i\lambda)=-\lambda^3+2\lambda\]
Edit: Giusto, Speculor!
\[-\lambda (\lambda^2-1)+i(-i\lambda)=-\lambda^3+2\lambda\]
Edit: Giusto, Speculor!
@Richard_Dedekind
Un buon lavoro...a $4$ mani!
Un buon lavoro...a $4$ mani!
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