Esercizio su autoaggiunto
Ciao!
Ho difficoltà con questo esercizio (lascio il testo e la soluzione)
La relazione \(\displaystyle T = T^* \) non dovrebbe valere solo se la base è ortonormale rispetto al prodotto scalare? Anche perché questo richiederebbe una T simmetrica, ma non lo è.
Ringrazio chiunque voglia darmi una mano
Ho difficoltà con questo esercizio (lascio il testo e la soluzione)
La relazione \(\displaystyle T = T^* \) non dovrebbe valere solo se la base è ortonormale rispetto al prodotto scalare? Anche perché questo richiederebbe una T simmetrica, ma non lo è.
Ringrazio chiunque voglia darmi una mano
Risposte
non capisco molto cosa intendi. il concetto di base si riferisce agli spazi vettoriali, non alle applicazioni.
poi il concetto di autoaggiuntezza, non fa riferimento a basi. in dimensioni finita viene chiesto che $(Tx,y) = (x,Ty)$, ovvero che l'aggiunto coincida con l'operatore stesso ($T = T^{\star}$).
poi se consideri una base ortonormale dello spazio vettoriale, si dimostra che un operatore è autoaggiunto se e solo se la matrice che lo rappresenta è uguale alla sua trasposta (se reale) o alla trasposta coniugata (se complesso).
poi il concetto di autoaggiuntezza, non fa riferimento a basi. in dimensioni finita viene chiesto che $(Tx,y) = (x,Ty)$, ovvero che l'aggiunto coincida con l'operatore stesso ($T = T^{\star}$).
poi se consideri una base ortonormale dello spazio vettoriale, si dimostra che un operatore è autoaggiunto se e solo se la matrice che lo rappresenta è uguale alla sua trasposta (se reale) o alla trasposta coniugata (se complesso).
Ok, credo di aver capito cosa intendi nella prima parte riguardo al fatto che non fa riferimento a basi.
Quindi se anziché esprimere la matrice rispetto alla base \(\displaystyle 1, x, x^2, x^3 \) l'avessi espressa rispetto a una ortonormale rispetto al prodotto scalare dato avrei ottenuto una matrice simmetrica?
Quindi se anziché esprimere la matrice rispetto alla base \(\displaystyle 1, x, x^2, x^3 \) l'avessi espressa rispetto a una ortonormale rispetto al prodotto scalare dato avrei ottenuto una matrice simmetrica?
"namfjushi":
Quindi se anziché esprimere la matrice rispetto alla base 1,x,x2,x3 l'avessi espressa rispetto a una ortonormale rispetto al prodotto scalare dato avrei ottenuto una matrice simmetrica?
esatto. prova a fare il conto come esercizio, se hai tempo e voglia.
@cooper: ma prima bisogna dare una base ortonormale. Non è super immediato trovarne una. Invece di $[-15, 15]$ io considererei $[-1, 1]$, che è concettualmente lo stesso. Una base ortonormale qui è data dai seni e coseni \(\sin(2\pi n x), \cos(2\pi n x)\), solo che naturalmente questi non sono polinomi. Se si vuole una base ortonormale fatta di polinomi, tocca andare a vedere cosa sono i "polinomi di Legendre" (sono i polinomi che si ottengono applicando Gram-Schmidt a $1, x, x^2, ...$)
"dissonance":
Non è super immediato trovarne una
in effetti è molto tedioso mettersi lì a risolvere gli integrali. è però anche vero che spesso ce la si cava notando la disparità dell'integrando e riprendendo i conti precedenti.
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