Esercizio su applicazioni lineari

[laska1]

Buon Pomeriggio,

Ero alle prese con il seguente esercizio:

Si consideri l'applicazione lineare $f_h:RR^3 -> RR^3$ così definita:

$f_h(\vec e_1)=h(\vec e_2)$
$f_h(\vec e_2)=(\vec e_1)+(\vec e_2)-(\vec e_3)$
$f_h(\vec e_3)=(\vec e_1)$

determinare:
ii) al variare di $h \in RR$ determinare $imf_h$ e $kerf_h$

Dunque, dopo aver determinato la matrice associata alla funzione mi sono trovata il nucleo della funzione...Ma trovo che il sottospazio è generato dal vettore nullo!
Inoltre la matrice che mi viene fuori: $((0,1,1),(h,1,0),(0,-1,0))$ una volta ridotta diventa: $((0,1,1),(h,0,-1),(0,0,1))$ e non riesco ad averla in modo tale da trovare il suo rango al variare di $h$ e procedere.

Scusate se "aggredisco" il forum con domande a ripetizione ma confido nel vostro sostegno!

[g.longhi]

Potresti provare a calcolarti il determinante della matrice e vedere per quali k si annulla, ma si vede anche "a occhio" che $rg = 2$ per $k=0$.

$ ker f_h:$

$h x = 0$
$y=0$
$z=0$

Quindi per $h!=0$ ker f ha dimensione nulla, ma nel caso di $h=0$... ?

[laska1]

Era quello che avevo ottenuto io! Però mi era sfuggita questa "mossa"... Nel caso di $h=0$ avremmo che il $kerf$ ha dimensione $1$ dato che la $x$ diventerebbe libera...Giusto?

[g.longhi]

Esattamente.
Per calcolare Im f non penso ci siano problemi a questo punto..