Esercizio su applicazioni lineari
Si consideri l'applicazione lineare $f: RR^3->RR^3$ definita da
$f((3),(1),(1))=((2),(1),(1))$ , $f((5),(2),(2))=((2),(1),(1))$ , $f((1),(1),(2))=((2),(1),(1))$
Si determini $ A in RR^3 $ tale che $f=L_a$. Si determini ker f e Im f. Si provi che $A^2=0$
allora io avrei pensato di impostare la matrice
$ f( ( 3 , 5 , 1 ),( 1 , 2 , 1 ),( 1 , 2 , 2 ) )=( ( 2 , 2 , 2 ),( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ) ) $
il ker di f è dato dal sistema composto dalla prima matrice uguagliata a 0 giusto? L'Im di f è data semplicemente dalla colonna $((2),(1),(1))$? (visto che l'immagine di tutte e 3 è la solita)
per dimostrare $A^2=0$ non ne ho idea
$f((3),(1),(1))=((2),(1),(1))$ , $f((5),(2),(2))=((2),(1),(1))$ , $f((1),(1),(2))=((2),(1),(1))$
Si determini $ A in RR^3 $ tale che $f=L_a$. Si determini ker f e Im f. Si provi che $A^2=0$
allora io avrei pensato di impostare la matrice
$ f( ( 3 , 5 , 1 ),( 1 , 2 , 1 ),( 1 , 2 , 2 ) )=( ( 2 , 2 , 2 ),( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ) ) $
il ker di f è dato dal sistema composto dalla prima matrice uguagliata a 0 giusto? L'Im di f è data semplicemente dalla colonna $((2),(1),(1))$? (visto che l'immagine di tutte e 3 è la solita)
per dimostrare $A^2=0$ non ne ho idea
Risposte
ah forse ho una idea per $A^2=0$
siccome il determinante della matrice è diverso da 0 (è infatti 1) posso portarla dall'altra parte ottenendo:
$A=((2 , 2 , 2),(1 , 1 , 1),(1 , 1 , 1))((3 , 5 , 1),(1 , 2 , 1),(1 , 2 , 2))^(-1)$
ed infine faccio tutto alla 2°
ragionamento in parte giusto o tutto sbagliato?
siccome il determinante della matrice è diverso da 0 (è infatti 1) posso portarla dall'altra parte ottenendo:
$A=((2 , 2 , 2),(1 , 1 , 1),(1 , 1 , 1))((3 , 5 , 1),(1 , 2 , 1),(1 , 2 , 2))^(-1)$
ed infine faccio tutto alla 2°
ragionamento in parte giusto o tutto sbagliato?
Matte!
Intanto puoi constatare che l'immagine ha dimensione 1 (è costituita dalla colonna 2 1 1)
Dunque siccome $dimRR^3=dimkerf+dimImf$, il $kerf$ ha dimensione 2.
per trovarti la base del $kerf$ basta che tu veda una cosa:
l'immagine... sono tutte uguali... quindi facendo la differenza ottieni, ad esempio:
$f(((3),(1),(1))-((1),(1),(2)))=0$
$f(((5),(2),(2))-((1),(1),(2)))=0$
dunque ti trovi la base del ker...
Per vedere quanto fa $A^2$ basta vedere come opera $L_A$:
$L_A^2((3),(1),(1))=L_A((2),(1),(1))$
$L_A^2((5),(2),(2))=L_A((2),(1),(1))$
$L_A^2((1),(1),(2))=L_A((2),(1),(1))$
Adesso ti dà fastidio 2 1 1.
Però posso dire che questo vettore è combinazione lineare della base che ti ho trovato del kernel:
$f(-((2),(0),(1))+((4),(1),(0)))=0$
Dunque ho così dimostrato che $A^2=0$...
Se non ti torna fammi sapere!;-)
Intanto puoi constatare che l'immagine ha dimensione 1 (è costituita dalla colonna 2 1 1)
Dunque siccome $dimRR^3=dimkerf+dimImf$, il $kerf$ ha dimensione 2.
per trovarti la base del $kerf$ basta che tu veda una cosa:
l'immagine... sono tutte uguali... quindi facendo la differenza ottieni, ad esempio:
$f(((3),(1),(1))-((1),(1),(2)))=0$
$f(((5),(2),(2))-((1),(1),(2)))=0$
dunque ti trovi la base del ker...
Per vedere quanto fa $A^2$ basta vedere come opera $L_A$:
$L_A^2((3),(1),(1))=L_A((2),(1),(1))$
$L_A^2((5),(2),(2))=L_A((2),(1),(1))$
$L_A^2((1),(1),(2))=L_A((2),(1),(1))$
Adesso ti dà fastidio 2 1 1.
Però posso dire che questo vettore è combinazione lineare della base che ti ho trovato del kernel:
$f(-((2),(0),(1))+((4),(1),(0)))=0$
Dunque ho così dimostrato che $A^2=0$...
Se non ti torna fammi sapere!;-)
Sergio l'abbiamo scritta nello stesso momento...^^
ops si ho scritto male, non volevo scrivere matrice; e poi si intendevo $Ax=0$, diciamo che mi manca un pò di linguaggio 
comunque grazie per l'aiuto
comunque grazie per l'aiuto
Di niente...^^... Speriamo ci vada bene domani...^^
oh ciao Andre! come va?
non ho molto afferrato comunque quello che dici...perchè fai quella differenza? e perchè ho dimostrato che $A^2=0$ tramite quei passaggi?
non ho molto afferrato comunque quello che dici...perchè fai quella differenza? e perchè ho dimostrato che $A^2=0$ tramite quei passaggi?
A pag 119-120 del libro hai la risposta...^^...
Comunque è un teorema... in parole povere viene fornito il legame tra A e la sua applicazione lineare... In questi esercizi devi applicare questo teorema, cioè studiare tutto con le applicazioni lineari... è una tipologia di esercizi: Io la chiamo $f=L_A$...^^
$Ax=0$ equivale a dire $L_A(x)=0$
Comunque è un teorema... in parole povere viene fornito il legame tra A e la sua applicazione lineare... In questi esercizi devi applicare questo teorema, cioè studiare tutto con le applicazioni lineari... è una tipologia di esercizi: Io la chiamo $f=L_A$...^^
$Ax=0$ equivale a dire $L_A(x)=0$
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