Esercizio su applicazioni lineari

[Shika93]

Qualcuno mi spiega gentilmente come si fa un esercizio di questo tipo?

$L:\RR^3->\RR^2$, $L((1),(1),(0))=((2),(1))$ $L((0),(1),(1))=((1),(1))$ $L((1),(1),(1))=((3),(3))$

Calcolare $L((2),(3),(0))$.
Non chiedo di risolvermelo, ma di spiegarmi cosa dovrei fare.

Grazie mille

[Trilogy]

Se $L$ è lineare deve valere che $$L(av+bw)=aL(v)+bL(w).$$ Puoi provare ad applicare questo fatto al tuo esercizio, scrivendo $(2,3,0)$ come combinazione lineare dei vettori su cui ti viene definita $L$.

[wolfinthewild]

$L ((2), (3), (0)) = ((4), (1))$
Mi torna così a voi?

[Shika93]

$((2),(3),(0))=\alpha((2),(1))+\beta((1),(1))+\gamma((3),(3))$?

Dato che è un'applicazione da $RR^3$ a $RR^2$ direi il secondo. Probabilmente eliminando l'ultima somma (quella con gamma) dato che $L((1),(1),(1))$ è combinazione lineare di $L((0),(1),(1))$

"wolfinthewild":$L ((2), (3), (0)) = ((4), (1))$
Mi torna così a voi?

a me verrebbe $((-1),(4))$

[wolfinthewild]

io ho provato in questo modo, ma non sono molto bravo probabilmente ho sbagliato da qualche parte.
sia $L = [[a, b, c],[a_1, b_1, c_1]]$
$L ((1),(1),(0)) = [[a+b+0*c],[a_1+b_1+0*c_1]] = ((2),(1))$
$L ((0),(1),(1)) = [[0*a+b+c],[0*a_1+b_1+c_1]] = ((1),(1))$
$L ((1),(1),(1)) = [[a+b+c],[a_1+b_1+c_1]] = ((3),(3))$

sicché
$[[1, 1, 0], [0, 1, 1], [1, 1, 1]]^-1*[[2],[1],[3]] = [[a],,[c]]$
$ [[1, 1, 0], [0, 1, 1], [1, 1, 1]]^-1*[[1],[1],[3]] =[[a_1],[b_1],[c_1]]$
cioè
$L = [[2, 0, 1], [2, -1, 2]]$
verifico che torni con i dati che ho a disposizione e moltiplico per $((2),(3),(0))$

se sbaglio non capisco dove... il risultato è (4, 1)

[Shika93]

Si, ho sbagliato io, il risultato è giusto ma pensandoci il procedimento (correggetemi se sbaglio) è molto più semplice

$((2),(3),(0))=\alpha((1),(1),(0))+\beta((0),(1),(1))+\gamma((1),(1),(1))=\{(\alpha=3),(\beta=1),(gamma=-1):}$

Quindi si scrive la matrice associata ad L $A=((2,1,3),(1,1,3))$ e lo si moltiplica per il vettore trovato:

$((2,1,3),(1,1,3))((3),(1),(-1))=((4),(1))$