Esercizio su applicazioni lineari

[xkiller994x]

Qualcuno potrebbe spiegarmi come si può risolvere l'esercizio 2 del compitino?

http://www.di.unipi.it/~bevilacq/Chi1a2014.pdf

Grazie

[Sk_Anonymous]

a)
Poniamo :
$y=(y_1,y_2,y_3), x=(x_1,x_2,x_3)$
in modo che si può scrivere che :
$f(x_1,x_2,x_3)=(y_1,y_2,y_3)=(x_1-( x_1+x_2+x_3)/3 ,x_2-( x_1+x_2+x_3)/3 ,x_3-( x_1+x_2+x_3)/3 )$
Da cui :
$f(x_1,x_2,x_3)=( 2/3x_1-1/3x_2-1/3x_3 ,-1/3x_1+2/3x_2-1/3x_3,-1/3x_1-1/3x_2+2/3x_3)$
Conseguentemente la matrice A è la seguente:
\(\displaystyle A=\begin{pmatrix} \frac{2}{3}&-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3} \\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{pmatrix} \)

b)
Come puoi facilmente verificare, nella A la prima riga è la somma delle altre due righe, ciascuna cambiata di segno.
Ne segue che il rango di A è 2 e che, affinché il sistema $Ax=b$ sia compatibile, è necessario e sufficiente che, posto $b=(b_1,b_2,b_3)$, risulti $b_1=-b_2-b_3$. Ovvero deve accadere per $b_1$ quello che accade per la prima riga di A. In tal modo le matrici incompleta e completa del sistema avranno il medesimo rango.

c)
Almeno in parte si tratta di una generalizzazione del punto (a) e potresti fare un utile esercizio se lo sviluppi da solo sulla falsariga di quanto già detto in quel punto [col LaTeX ci metto un mese a scriverlo ].