Esercizio su applicazioni lineare
siano V uno spazio vettoriale, e $\B=(v1,v2,v3)$ una sua base e $\w=v1+v2+v3$ un elemente di v. Si consideri l'endomorfismo di V la cui matrice relativa a B è la seguente:
$\((1,0,1),(0,1,0),(1,0,1))$
-trovare kerF
.stabilire se il sottospazio L(w) generato da w è un autospazio di f
allora il primo esercizio credo di averlo risolto, spero bene. Infatti ho costruito il sistema associato alla matrice e lo ho egualiato a 0 in questo modo $\{(x+z=0),(y=0),(x+z=0):}$ ed ho scoperto che il kerf ha dimensione uno, e una sua base è per esempio (x,0,-x)
ora come faccio a risolvere il secondo? confrontandomi con alcuni compagni mi hanno detto che non è un autospazio perchè w non è un autovettore. Come lo dimostro?
$\((1,0,1),(0,1,0),(1,0,1))$
-trovare kerF
.stabilire se il sottospazio L(w) generato da w è un autospazio di f
allora il primo esercizio credo di averlo risolto, spero bene. Infatti ho costruito il sistema associato alla matrice e lo ho egualiato a 0 in questo modo $\{(x+z=0),(y=0),(x+z=0):}$ ed ho scoperto che il kerf ha dimensione uno, e una sua base è per esempio (x,0,-x)
ora come faccio a risolvere il secondo? confrontandomi con alcuni compagni mi hanno detto che non è un autospazio perchè w non è un autovettore. Come lo dimostro?
Risposte
"tori90":
allora il primo esercizio credo di averlo risolto, spero bene. Infatti ho costruito il sistema associato alla matrice e lo ho egualiato a 0 in questo modo $\{(x+z=0),(y=0),(x+z=0):}$ ed ho scoperto che il kerf ha dimensione uno, e una sua base è per esempio (x,0,-x)
In rosso l'errore. Ti sei espresso male. $(x,0,-x)$ è la terna delle componenti di un generico vettore di $"ker" F$. Quindi il generico vettore di $"ker" F$ è nella forma $xv_1-xv_3$. Quindi una base di $"ker" F$ è formata dal solo vettore $v_1-v_3$.
Attenzione a non confondere un vettore con la terna delle sue componenti!
Per il secondo esercizio, per provare che $w$ non è autovettore applica la definizione. Calcola $F(w)$ e verifica che $F(w)$ non è proporzionale a $w$.
grazie per avermi chiarito l'errore nel primo esercizio^^
il problema di fondo è...come faccio a trovare F(w)? Al momento non riesco a trovare una soluzione. In genere quandosi tratta di calcolare gli autovettori, trovo prima gli autovalori e gli auto spazi. Si può fare anche in questo caso?
il problema di fondo è...come faccio a trovare F(w)? Al momento non riesco a trovare una soluzione. In genere quandosi tratta di calcolare gli autovettori, trovo prima gli autovalori e gli auto spazi. Si può fare anche in questo caso?
ricorda la definizione di applicazione lineare, e vedi com'è definito $w$. Inoltre qual è la base e quali sono le componenti rispetto ad essa... devi solo mettere insieme questi elementi.
Sai qual è la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alla base $B$.
Quindi puoi sapere quanto valgono $F(v_1)$, $F(v_2)$ e $F(v_3)$ (basta usare la definizione di matrice associata)
Da cui puoi calcolare $F(w)=F(v_1)+F(v_2)+F(v_3)$ e verificare se è proporzionale a $w=v_1+v_2+v_3$ oppure no.
Quindi puoi sapere quanto valgono $F(v_1)$, $F(v_2)$ e $F(v_3)$ (basta usare la definizione di matrice associata)
Da cui puoi calcolare $F(w)=F(v_1)+F(v_2)+F(v_3)$ e verificare se è proporzionale a $w=v_1+v_2+v_3$ oppure no.
svolgendo i calcoli, se non ho sbagliato, mi viene che F(w)= 2v1+v2+2v3 che non è proporzionale a w. E' giusto ciò che ho fatto? (ho ricavato le immagini dei vettori dalle colonne della matrice)
Giusto
ok grazie mille per le risposte, mi sei stato di grande aiuto
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