Esercizio su affinità
Ciao a tutti, ho alcuni problemi a risolvere un' esercizio di un compito d'esame sulle affinità...
l'esercizio è il seguente:
Sia $A$ spazio affine su $V$ spazio vettoriale.
Sia $r in (A)^3$ di equazioni cartesiane$ r : x+y-z-2 = x-2y+z-1 = 0 $
e $ f : (A)^3 -> (A)^3$ l'affinità definita da
$f ( (x),(y),(z) ) =( (x+y-2),(y-z),(x+y+z-1) )
(a). Scrivere delle equazioni cartesiane per $f(r)$
(b). Scrivere delle equazioni cartesiane per $f^(-1)(r)
Io ho provato a svolgere il punto (a) così(non so se va bene, se non è corretto per favore correggetemi):
ho pensato che $f$ è l'affinità che porta x in x+y-2, y in y-z e z in x+y+z-1 quindi ho ragionato cosi:
l'equazione cartesiana per $r$ è $ r= { ( x+y-z-2=0 ),( x-2y+z-1=0 ):} $ quindi ho sostituito le variabili come scritto sopra e quindi semplificando mi sono trovato un'equazione cartesiana per $f(r)$ che è $ f(r)= { ( x=-3/4y+9/4 ),( z=y/2-3/2 ):} $
a questo punto però non so come trovarmi l'inversa, la mia idea era di ricavarmi la matrice di $f(r)$ e fare l'inversa di questa, ma come me la ricavo la matrice di $f(r)$?
aiuto, grazie mille in anticipo per le risposta ciao a tutti
l'esercizio è il seguente:
Sia $A$ spazio affine su $V$ spazio vettoriale.
Sia $r in (A)^3$ di equazioni cartesiane$ r : x+y-z-2 = x-2y+z-1 = 0 $
e $ f : (A)^3 -> (A)^3$ l'affinità definita da
$f ( (x),(y),(z) ) =( (x+y-2),(y-z),(x+y+z-1) )
(a). Scrivere delle equazioni cartesiane per $f(r)$
(b). Scrivere delle equazioni cartesiane per $f^(-1)(r)
Io ho provato a svolgere il punto (a) così(non so se va bene, se non è corretto per favore correggetemi):
ho pensato che $f$ è l'affinità che porta x in x+y-2, y in y-z e z in x+y+z-1 quindi ho ragionato cosi:
l'equazione cartesiana per $r$ è $ r= { ( x+y-z-2=0 ),( x-2y+z-1=0 ):} $ quindi ho sostituito le variabili come scritto sopra e quindi semplificando mi sono trovato un'equazione cartesiana per $f(r)$ che è $ f(r)= { ( x=-3/4y+9/4 ),( z=y/2-3/2 ):} $
a questo punto però non so come trovarmi l'inversa, la mia idea era di ricavarmi la matrice di $f(r)$ e fare l'inversa di questa, ma come me la ricavo la matrice di $f(r)$?
aiuto, grazie mille in anticipo per le risposta ciao a tutti
Risposte
Credo che non vada bene:
Io sottrarrei membro a membro l'equazione della retta ottenendo per la retta coordinate :$(x,2x-3,3x-5)$
Ora queste coordinate vanno sostituite alla:$f(x,y,z)=(x',y',z')=(x+y-2,y-z,x+y+z-1)$ e quindi:
${(x'=3x-5),(y'=-x+2),(z'=6x-9):}$.
Ora elimino $x$ e ottengo:$r'={(y'=(-x')/(3)+1/3),(z'=2x'+1):}$.Il tuo non va bene,infatti se sostituisci un punto $P in r$ tramite l'applicazione ottengo un punto $P'$.Tale punto $P'$ deve soddisfare il sistema $r'$ il che non avviene
Io sottrarrei membro a membro l'equazione della retta ottenendo per la retta coordinate :$(x,2x-3,3x-5)$
Ora queste coordinate vanno sostituite alla:$f(x,y,z)=(x',y',z')=(x+y-2,y-z,x+y+z-1)$ e quindi:
${(x'=3x-5),(y'=-x+2),(z'=6x-9):}$.
Ora elimino $x$ e ottengo:$r'={(y'=(-x')/(3)+1/3),(z'=2x'+1):}$.Il tuo non va bene,infatti se sostituisci un punto $P in r$ tramite l'applicazione ottengo un punto $P'$.Tale punto $P'$ deve soddisfare il sistema $r'$ il che non avviene
Credo di non aver capito a pieno il tuo procedimento, se è un buon procedimento per operare su esercizi di questo genere potresti cercare di spiegarmelo in termini un po' più semplici per favore.... 
anche se in questo caso da quello che mi dici, non risolve l'esercizio in questione, se è buono può tornarmi utile...comunque rimane la questione di questo esercizio ancora in sospeso, se riesci a trovare una soluzione postala per favore....ciao grazie
anche se in questo caso da quello che mi dici, non risolve l'esercizio in questione, se è buono può tornarmi utile...comunque rimane la questione di questo esercizio ancora in sospeso, se riesci a trovare una soluzione postala per favore....ciao grazie
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