Esercizio strano Trovare Autovalori-Autospazi
Sia dato lo spazio vettoriale erale E di dimensione 3 sia $B=(e_i)$ la base fissate
Siano $u(4,5,0),v(10,-1,0),w(-5,5,9)$ tre vettori di V e $\alpha in End(V)$ tale che $\alpha(e_1)=u...\alpha(e_3)=w$
Dimostrare che $\alpha$ sia un automorfismo calcolare gli AUtovalori e gli autospazi di $\alpha$
Allora per la prima parte nessun problema
scrivo la matrice
$((4,10,-5),(5,-1,5),(0,0,9))$ mi calcolo il rango che è pari a 3
quindi
teo della dimensione
$Dim V=Dim Ker + Dim Img$ ottengo che la dim del ker è pari a 0 (monomorfismo) e che Dim V = Dim Img (epimorfismo)
Dunque è un automorfismo
Per calcolare gli autovalori e gli autospazi faccio così $((4-\lambda,10,-5),(5,-1-\lambda,5),(0,0,9-\lambda))=(4-\lambda)(-1-\lambda)(9-\lambda)-50(9-\lambda)=(9-\lambda)[(\lambda^2-3\lambda-4)-50]=(9-\lambda)[(\lambda^2-3\lambda-54)]$
e di qua ottengo che $\lambda_1=9$ e in teoria per gli altri e due dovrei svolgere l'equzione di secondo grado... ma vado per calcolarmi il discriminante e mi viene che la radice quadrata non è perfetta!
Dove sbaglio?non è strano che l'autovalore venga decimale?
se invece quel 50 non ci fosse il delta varebbe 25 e avrei $\lambda_2=4,\lambda_3=-1$
non è che quel 10 doveva esser 0?
Siano $u(4,5,0),v(10,-1,0),w(-5,5,9)$ tre vettori di V e $\alpha in End(V)$ tale che $\alpha(e_1)=u...\alpha(e_3)=w$
Dimostrare che $\alpha$ sia un automorfismo calcolare gli AUtovalori e gli autospazi di $\alpha$
Allora per la prima parte nessun problema
scrivo la matrice
$((4,10,-5),(5,-1,5),(0,0,9))$ mi calcolo il rango che è pari a 3
quindi
teo della dimensione
$Dim V=Dim Ker + Dim Img$ ottengo che la dim del ker è pari a 0 (monomorfismo) e che Dim V = Dim Img (epimorfismo)
Dunque è un automorfismo
Per calcolare gli autovalori e gli autospazi faccio così $((4-\lambda,10,-5),(5,-1-\lambda,5),(0,0,9-\lambda))=(4-\lambda)(-1-\lambda)(9-\lambda)-50(9-\lambda)=(9-\lambda)[(\lambda^2-3\lambda-4)-50]=(9-\lambda)[(\lambda^2-3\lambda-54)]$
e di qua ottengo che $\lambda_1=9$ e in teoria per gli altri e due dovrei svolgere l'equzione di secondo grado... ma vado per calcolarmi il discriminante e mi viene che la radice quadrata non è perfetta!
Dove sbaglio?non è strano che l'autovalore venga decimale?
se invece quel 50 non ci fosse il delta varebbe 25 e avrei $\lambda_2=4,\lambda_3=-1$
non è che quel 10 doveva esser 0?
Risposte
[mod="Martino"]Ciao, sei pregato di mettere un titolo che specifichi l'argomento. Il titolo attuale è "Esercizio strano" e non va bene. Grazie.[/mod]
modificato non ci avevo fatto caso! pardon
Dove (cavolo) stà scritto che un autovalore debba essere un numero razionale? Basta che sia reale; in questo caso, NO?! 
A parte ciò che è stato detto sopra, a me sotto il discriminante esce $9-4(-54)=9+216=225=15^2$
@mistkake
Ciao
da quanto tempo
ah è vero errore di conteggio
@j18eos
è raro trovare es più complicati di quello che sono! non che non sia possibile ma so che sarebbe una complicazione inutile ai fini dell'esercizio
cmq finisco l'esercizio
gli autovalori trovati sono $\lambda_(1,2)=9,\lambda_3=-6$ con m.a.=2 e m.a.=1
le relative matrici associate ai rispetti autospazi sono
$((-5,10,-5),(5,-10,5),(0,0,0))$ con r=1 Dim ker=DimV-Dim Img=3-1=2 e quindi m.g.=m.a.=2 Autovalore
$((10,10,-5),(5,5,5),(0,0,15))$ con r=2 Dim ker=DimV-Dim Img=3-2=1 e quindi m.g.=m.a.=1 Autovalore
Dato che richiede un autospazio va trovata una base sia per $\lambda_(1,2)=9,\lambda_3=-6$
$\lambda_(1,2)=9$ Il suo spazio è generato da $(0,9,9)$ ottenuto dal sistema
$\{(5x_1=\lambda_1-\lambda_2),(x_2=\lambda_1),(x_3=\lambda_2):}$
$\lambda_3=-6$ Il suo spazio è generato da $(6,-6,0)$ ottenuto dal sistema
$\{(5x_1+5x_2+5x_3=0),(x_2=\lambda),(x_3=0):}$$\{(x_1=-\lambda),(x_2=\lambda),(x_3=0):}$
e con questo ho determinato gli autovalori e trovato i relativi autospazi
Ciao
da quanto tempoah è vero errore di conteggio
@j18eos
è raro trovare es più complicati di quello che sono! non che non sia possibile ma so che sarebbe una complicazione inutile ai fini dell'esercizio
cmq finisco l'esercizio
gli autovalori trovati sono $\lambda_(1,2)=9,\lambda_3=-6$ con m.a.=2 e m.a.=1
le relative matrici associate ai rispetti autospazi sono
$((-5,10,-5),(5,-10,5),(0,0,0))$ con r=1 Dim ker=DimV-Dim Img=3-1=2 e quindi m.g.=m.a.=2 Autovalore
$((10,10,-5),(5,5,5),(0,0,15))$ con r=2 Dim ker=DimV-Dim Img=3-2=1 e quindi m.g.=m.a.=1 Autovalore
Dato che richiede un autospazio va trovata una base sia per $\lambda_(1,2)=9,\lambda_3=-6$
$\lambda_(1,2)=9$ Il suo spazio è generato da $(0,9,9)$ ottenuto dal sistema
$\{(5x_1=\lambda_1-\lambda_2),(x_2=\lambda_1),(x_3=\lambda_2):}$
$\lambda_3=-6$ Il suo spazio è generato da $(6,-6,0)$ ottenuto dal sistema
$\{(5x_1+5x_2+5x_3=0),(x_2=\lambda),(x_3=0):}$$\{(x_1=-\lambda),(x_2=\lambda),(x_3=0):}$
e con questo ho determinato gli autovalori e trovato i relativi autospazi
Dopo le matrici non ho capito nulla; e comunque non ti trovi con le precedenti affermazioni (vere)!
in che senso non mi trovo?
E.g.: l'autospazio di [tex]$\lambda_3$[/tex] dici che ha è generato da [tex]$(6;0;-6)$[/tex] e nella sua rappresentazione parametrica imponi che la III componente sia nulla!
hai ragione perchè ho sbagliato a scrivere... ricontrolla che ho corretto!
Ok, però non saprei da dove vengono quelle matrici. 
Per cui, ammessa la loro correttezza, non ci sono errori. 
Per cui, ammessa la loro correttezza, non ci sono errori.
quelle sono le matrici relative agli autospazio ottenute da
$det(A-\lambdaI)$
$det(A-\lambdaI)$
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