Esercizio spazio vettoriale con prodotto scalare e prodotto vettoriale
nello spazio vettoriale V=R^{3} dotato del prodotto scalare standard e del prodotto vettoriale si consideri il vettore u=(0,1,1) e l'endomorfismo definito da f(v)=u \wedge v per ogni v appartenente a V
a) calcolare le dimensioni del nucleo e dell'immagine di f
b)trovare la matrice rappresentativa di f rispetto alla basa canonica
c) determinare se l'endomorfismo è diagonalizzabile
d) individuare l'applicazione aggiunta di f e dire se l'endomorfismo è autoaggiunto o antisimmetrico
ho provato ha risolvere i quesiti in questo modo:
il prodotto scalare uv=0v1+1v2+1v3
il prodotto vettoriale uxv= det ( ( i , j , k ),( 0 , 1 , 1 ),( v1 , v2 , v3 ) ) = (v3-v2)i+v1j-v1k
ker f è definito come i vettori v appartenenti a V tali che f(v)=0,
perciò imponendo che il prodotto scalare sia nullo deve essere che v2=0 e v3=0 per ogni v1
imponendo che il prodotto vettoriale sia nullo deve essere v2=v3 e v1=0
sono rispettate entrambe le condizioni per v=(0,0,0) e il ker f avrà dimensione 1
per il teorema della dimensione: dim(V)= dim(ker f)+dim(Im f) la dimensione dell'immagine dovrà essere 2
la matrice rappresentativa è A= ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , -1 , 1 ) )
è diagonalizzabile se:
-il numero degli autovalori è pari all'ordine della matrice
-la molteplicità geometrica di ciascun autovalore coincide con la relativa molteplicità algebrica
ma le condizioni non sono entrambe rispettatte, quindi non è diagonalizzabile
A non è quadrata perciò non è neanche simmetrica
si calcola l'aggiunta facendo la trasposta e poi la coniugata, ma non sono sicuro del risultato
At= ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , -1 , 0 ) )
Aa= ( ( -1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ) )
a) calcolare le dimensioni del nucleo e dell'immagine di f
b)trovare la matrice rappresentativa di f rispetto alla basa canonica
c) determinare se l'endomorfismo è diagonalizzabile
d) individuare l'applicazione aggiunta di f e dire se l'endomorfismo è autoaggiunto o antisimmetrico
ho provato ha risolvere i quesiti in questo modo:
il prodotto scalare uv=0v1+1v2+1v3
il prodotto vettoriale uxv= det ( ( i , j , k ),( 0 , 1 , 1 ),( v1 , v2 , v3 ) ) = (v3-v2)i+v1j-v1k
ker f è definito come i vettori v appartenenti a V tali che f(v)=0,
perciò imponendo che il prodotto scalare sia nullo deve essere che v2=0 e v3=0 per ogni v1
imponendo che il prodotto vettoriale sia nullo deve essere v2=v3 e v1=0
sono rispettate entrambe le condizioni per v=(0,0,0) e il ker f avrà dimensione 1
per il teorema della dimensione: dim(V)= dim(ker f)+dim(Im f) la dimensione dell'immagine dovrà essere 2
la matrice rappresentativa è A= ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , -1 , 1 ) )
è diagonalizzabile se:
-il numero degli autovalori è pari all'ordine della matrice
-la molteplicità geometrica di ciascun autovalore coincide con la relativa molteplicità algebrica
ma le condizioni non sono entrambe rispettatte, quindi non è diagonalizzabile
A non è quadrata perciò non è neanche simmetrica
si calcola l'aggiunta facendo la trasposta e poi la coniugata, ma non sono sicuro del risultato
At= ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , -1 , 0 ) )
Aa= ( ( -1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ) )
Risposte
Benvenuto sul forum.
L'esercizio è tutto sbagliato: l'errore più madornale è che la matrice deve essere simmetrica, si tratta di un endomorfismo. Il calcolo di ker e immagine è completamente incomprensibile. Se il risultato che hai trovato fosse corretto, il fatto che \(\ker f=\{0\}\) direbbe che il nucleo ha dimensione ZERO, non uno. Ma il risultato non è corretto.
Insomma, meglio cancellare tutto e rifare tutto daccapo.
L'esercizio è tutto sbagliato: l'errore più madornale è che la matrice deve essere simmetrica, si tratta di un endomorfismo. Il calcolo di ker e immagine è completamente incomprensibile. Se il risultato che hai trovato fosse corretto, il fatto che \(\ker f=\{0\}\) direbbe che il nucleo ha dimensione ZERO, non uno. Ma il risultato non è corretto.
Insomma, meglio cancellare tutto e rifare tutto daccapo.
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