Esercizio spazio polinomi
Buongiorno.
Ho questo esercizio, che ad una prima analisi mi pareva banale, ma poi mi sono perso, quasi subito.
Esercizio:
a) Si stabilisca se $ W = {(r+s)x^3 + (r+t)x^2+(s-t)x+ (r+t)| r,s,t in R}sube R3[x] $ è un sottospazio vettoriale di R3[x] e in caso affermativo se ne determini una base B.
b) Si completi la base B trovata al punto precedente ad una base di W.
Stabilire se sia un sottospazio segue le regole di chiusura per somma e prodotto e non mi sembrano esserci problemi. E' centrato per la terna (-t, t, t).
W sembrerebbe un sottospazio.
A questo punto inizia la confusione. Ho effettuato un tentativo di svolgimento solo però per rendermi conto che era totalmente sbagliato anche se, come detto, di primo acchito l'esercizio mi sembrava addirittura banale.
Qualcuno potrebbe aiutarmi.
Grazie
Ho questo esercizio, che ad una prima analisi mi pareva banale, ma poi mi sono perso, quasi subito.
Esercizio:
a) Si stabilisca se $ W = {(r+s)x^3 + (r+t)x^2+(s-t)x+ (r+t)| r,s,t in R}sube R3[x] $ è un sottospazio vettoriale di R3[x] e in caso affermativo se ne determini una base B.
b) Si completi la base B trovata al punto precedente ad una base di W.
Stabilire se sia un sottospazio segue le regole di chiusura per somma e prodotto e non mi sembrano esserci problemi. E' centrato per la terna (-t, t, t).
W sembrerebbe un sottospazio.
A questo punto inizia la confusione. Ho effettuato un tentativo di svolgimento solo però per rendermi conto che era totalmente sbagliato anche se, come detto, di primo acchito l'esercizio mi sembrava addirittura banale.
Qualcuno potrebbe aiutarmi.
Grazie
Risposte
Se permetti, ti consiglio la notazione \(\displaystyle\mathbb{R}[x]_{\leq3}\) oppure \(\displaystyle\mathbb{R}[x]_3\)... altrimenti alcune persone (tra cui non io) si arrabbiano. 
Scritto ciò: hai dimostrato che \(\displaystyle W\) è un sottospazio vettoriale di \(\displaystyle\mathbb{R}[x]_{\leq3}\), oppure no?
Cosa c'entra la terna \(\displaystyle(-t,t,t)\) con l'esercizio proposto?
Scritto ciò: hai dimostrato che \(\displaystyle W\) è un sottospazio vettoriale di \(\displaystyle\mathbb{R}[x]_{\leq3}\), oppure no?
Cosa c'entra la terna \(\displaystyle(-t,t,t)\) con l'esercizio proposto?
Chiedo scusa per la nomenclatura, non sono riuscito a reperire ne il carattere speciale per indicare l'insieme ne il modo di mettere pedici. Userò i tuoi suggerimenti in eventuali nuove discussioni.
Tornando all'esercizio, sì la dimostrazione sembrerebbe portare alla conclusione che W sia un sottospazio. Mi risulta chiuso per somma e prodotto, e con quella terna intendo dire che con quei valori ottengo lo zero nel codominio, ''prerequisito'' nella verifica di un sottospazio vettoriale.
Per il resto, o anche per questa prima parte preliminare qualora avessi proceduto in maniera errata già dal principio, attendo consigli.
Grazie
Tornando all'esercizio, sì la dimostrazione sembrerebbe portare alla conclusione che W sia un sottospazio. Mi risulta chiuso per somma e prodotto, e con quella terna intendo dire che con quei valori ottengo lo zero nel codominio, ''prerequisito'' nella verifica di un sottospazio vettoriale.
Per il resto, o anche per questa prima parte preliminare qualora avessi proceduto in maniera errata già dal principio, attendo consigli.
Grazie
Praticamente per \(\displaystyle r=-t\) ed \(\displaystyle s=t\) ottieni il vettore nullo... basta semplicemente porre \(\displaystyle r=s=t=0\) e concludi che \(\displaystyle\underline{0}\in W\).
Vabbè, se non ci sono altri dubbi su \(\displaystyle W\): quali sono i rimanenti?
Vabbè, se non ci sono altri dubbi su \(\displaystyle W\): quali sono i rimanenti?
I dubbi sono su tutto il resto dell'esercizio. In particolare sul fatto che nel punto 2 viene chiesto di completare la base ricavata B a W, dando così ad intendere che quella che dovrei ricavare avrà dimensione inferiore.
Ma la condizione non mi dice in sostanza che W sarà formato da qualsiasi polinomio di grado massimo 3?
E quindi a quel punto una base B non potrà essere semplicemente la base canonica $(1, x, x^2, x^3)$ ?
Come giustifico quindi la richiesta del secondo punto?
Insomma, tanta confusione in effetti...
Ma la condizione non mi dice in sostanza che W sarà formato da qualsiasi polinomio di grado massimo 3?
E quindi a quel punto una base B non potrà essere semplicemente la base canonica $(1, x, x^2, x^3)$ ?
Come giustifico quindi la richiesta del secondo punto?
Insomma, tanta confusione in effetti...
Posso forse esprimere W come $(r+s)(0,0,0,1)+(r+t)(1,0,1,0)+(s-t)(0,1,0,0)$?
La mia base dunque essere $B = {(0,0,0,1), (1,0,1,0),(0,1,0,0)}$ ovvero costituita dai tre polinomi
$p1= x^3$
$p2= 1+x^2$
$p3= x$
Dunque dimensione 3, alla quale aggiungere $(0,0,1,0)$ per completarla a W?
Ho peggiorato le cose?
La mia base dunque essere $B = {(0,0,0,1), (1,0,1,0),(0,1,0,0)}$ ovvero costituita dai tre polinomi
$p1= x^3$
$p2= 1+x^2$
$p3= x$
Dunque dimensione 3, alla quale aggiungere $(0,0,1,0)$ per completarla a W?
Ho peggiorato le cose?
Utilizzando la base canonica \(\displaystyle\{1,x,x^2,x^3\}\) allora \(\displaystyle W\) è l'insieme dei vettori aventi coordinate canoniche
\[
(r+s,r+t,s-t,r+t)=r(1,1,0,1)+s(1,0,1,0)+t(0,1,-1,1);
\]
quindi chi è una base di \(\displaystyle W\)?
P.S.: non hai combinato nessun casìno!
\[
(r+s,r+t,s-t,r+t)=r(1,1,0,1)+s(1,0,1,0)+t(0,1,-1,1);
\]
quindi chi è una base di \(\displaystyle W\)?
P.S.: non hai combinato nessun casìno!
Grazie per la risposta e scusa il ritardo nella mia.
Ho colto meccanicamente cosa hai fatto e cosa implica ma non ho saputo arrivarci e questo è un problema.
Comunque da li la base risulta $B = {(1, 1, 0, 1), (0, 1,-1, 1)}$ che posso completare a W (che avendo tre parametri liberi di variare ha dimensione 3 evidentemente (?))con $(0, 0, 1, 0)$.
Questo giustificherebbe anche la richiesta nel punto 2.
Un ''giusto?'' è d'obbligo visto che non padroneggio affatto la materia...
Ho colto meccanicamente cosa hai fatto e cosa implica ma non ho saputo arrivarci e questo è un problema.
Comunque da li la base risulta $B = {(1, 1, 0, 1), (0, 1,-1, 1)}$ che posso completare a W (che avendo tre parametri liberi di variare ha dimensione 3 evidentemente (?))con $(0, 0, 1, 0)$.
Questo giustificherebbe anche la richiesta nel punto 2.
Un ''giusto?'' è d'obbligo visto che non padroneggio affatto la materia...
"lackyluk":
[...] ma non ho saputo arrivarci e questo è un problema.
Comunque da li la base risulta $B = {(1, 1, 0, 1), (0, 1,-1, 1)}$ che posso completare a W (che avendo tre parametri liberi di variare ha dimensione 3 [...]
[list=1]
[*:img91m41]Cosa non hai capìto?[/*:m:img91m41]
[*:img91m41]Come arrivi a dire che \(\displaystyle B\) è una base di \(\displaystyle W\)?[/*:m:img91m41]
[*:img91m41]Fermo restando che \(\displaystyle B\) è una base, che dimensione ha \(\displaystyle W\)?[/*:m:img91m41][/list:o:img91m41]
Nota: \(\displaystyle W\) è generato da \(\displaystyle3\) vettori, quindi usi \(\displaystyle3\) parametri per descrivere i suoi elementi; ma ciò non implica che la dimensione sia \(\displaystyle3\)!
Esempio:\(\displaystyle\langle(1,0),(0,1),(1,1)\rangle\) chi genera in \(\displaystyle\mathbb{R}^2\)?
Cancellare per favore!!!
Il punto (2) non mi aiuta ad aiutarti...
Ho fatto di nuovo casino 
Vediamo di ricapitolare, in quanto ho anche fatto dei refusi nel post precedente.
Un base di W è un insieme di vettori che generano W, indipendenti fra di loro.
I tre vettori $(1,1,0,1), (1,0,1,0), (0,1,-1,1)$ generano W ma non sono indipendenti, il terzo è superfluo.
Dunque una base di W, che deve avere dimensione 4 è $(1,1,0,1), (1,0,1,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)$
Come va adesso?
Comunque ti ringrazio per la pazienza...
Vediamo di ricapitolare, in quanto ho anche fatto dei refusi nel post precedente.
"j18eos":
Utilizzando la base canonica \( \displaystyle\{1,x,x^2,x^3\} \) allora \( \displaystyle W \) è l'insieme dei vettori aventi coordinate canoniche
\[ (r+s,r+t,s-t,r+t)=r(1,1,0,1)+s(1,0,1,0)+t(0,1,-1,1); \]
quindi chi è una base di \( \displaystyle W \)?
Un base di W è un insieme di vettori che generano W, indipendenti fra di loro.
I tre vettori $(1,1,0,1), (1,0,1,0), (0,1,-1,1)$ generano W ma non sono indipendenti, il terzo è superfluo.
Dunque una base di W, che deve avere dimensione 4 è $(1,1,0,1), (1,0,1,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)$
Come va adesso?
Comunque ti ringrazio per la pazienza...
PS. Il post precedente a cui hai risposto era un inizio di risposta che avevo cancellato ma che per qualche motivo è rimasto visible...
Scusa, ma se \(\displaystyle W\) è generato da \(\displaystyle3\) vettori, perché ha dimensione \(\displaystyle4\)?
...e pensa al mio esempio!
...e pensa al mio esempio!
Ok giusto.
Lui mi chiede di completare a W (che ha dimensione 3) non a \( \displaystyle\mathbb{R}^3(x) \) che ha dimensione 4.
E quindi...ho tre vettori, di cui 2 indipendenti. Scelgo uno dei due aggiunti da me invece che entrambi?
Per il tuo esempio \( \displaystyle\mathbb{R}^2 \) è generato dai primi due vettori che sono indipendenti, cosa che fa di loro una base per \( \displaystyle\mathbb{R}^2 \). Il terzo è una loro combinazione lineare superflua.
Ma questo comunque non mi aiuta a capire il problema principale...
Lui mi chiede di completare a W (che ha dimensione 3) non a \( \displaystyle\mathbb{R}^3(x) \) che ha dimensione 4.
E quindi...ho tre vettori, di cui 2 indipendenti. Scelgo uno dei due aggiunti da me invece che entrambi?
Per il tuo esempio \( \displaystyle\mathbb{R}^2 \) è generato dai primi due vettori che sono indipendenti, cosa che fa di loro una base per \( \displaystyle\mathbb{R}^2 \). Il terzo è una loro combinazione lineare superflua.
Ma questo comunque non mi aiuta a capire il problema principale...
Ricordati che una base di \(\displaystyle W\) è composta da due vettori, quindi che dimensione ha?
Ora credo di essermi perso.
Perchè una base di W dovrebbe essere composta da due vettori se ci sono tre paramenti liberi di variare (r, s, t)?
Per la cronaca, la teoria ''spicciola'' su cosa siano basi, sulla loro dimensione, di cosa siano spazi e sottospazi vettoriali mi è tutto sommato relativamente chiara. In questo esercizio c'è qualcosa che mi confonde e imboccarmi sembra inutile.
Dunque ti ringrazio per tutta la pazienza avuto finora ma se ti va dammi la soluzione, magari allegata con una piccola spiegazione di quali sono i punti che ritieni mi stiano creando tutta questa confusione, così che io possa analizzarla per capire dove sbaglio o cosa non mi è chiaro.
Altrimenti ti ringrazio lo stesso...
Perchè una base di W dovrebbe essere composta da due vettori se ci sono tre paramenti liberi di variare (r, s, t)?
Per la cronaca, la teoria ''spicciola'' su cosa siano basi, sulla loro dimensione, di cosa siano spazi e sottospazi vettoriali mi è tutto sommato relativamente chiara. In questo esercizio c'è qualcosa che mi confonde e imboccarmi sembra inutile.
Dunque ti ringrazio per tutta la pazienza avuto finora ma se ti va dammi la soluzione, magari allegata con una piccola spiegazione di quali sono i punti che ritieni mi stiano creando tutta questa confusione, così che io possa analizzarla per capire dove sbaglio o cosa non mi è chiaro.
Altrimenti ti ringrazio lo stesso...
No, non ti è chiara la dimensione di uno spazio vettoriale: poiché la base ha lunghezza \(\displaystyle2\), la dimensione è \(\displaystyle2\)!
Ti posso dare anche un esempio di spazio vettoriale generato da \(\displaystyle 10\) vettori, \(\displaystyle4\) parametri ed avere dimensione \(\displaystyle1\)...
Ti posso dare anche un esempio di spazio vettoriale generato da \(\displaystyle 10\) vettori, \(\displaystyle4\) parametri ed avere dimensione \(\displaystyle1\)...
Ok dai ti ringrazio lo stesso.
Per la cronaca non mi hai aiutato troppo di più che se mi avessi detto ''studia che è meglio''.
Comunque ok spero qualcun' altro possa chiarirmi le idee... o pazienza, me le chiarirò da solo in qualche modo.
Per la cronaca non mi hai aiutato troppo di più che se mi avessi detto ''studia che è meglio''.
Comunque ok spero qualcun' altro possa chiarirmi le idee... o pazienza, me le chiarirò da solo in qualche modo.
Sei tu ad aver affermato più volte di avere difficoltà solo cogli spazi vettoriali "di polinomi";
ma se poi mostri di non sapere né giustificare perché un certo insieme sia una base, e né perché la dimensione è quella e non quell'altra: non è di certo colpa mia!
"Se l'imperatore va in giro nudo, non è colpa del bambino che dice la verità!"
ma se poi mostri di non sapere né giustificare perché un certo insieme sia una base, e né perché la dimensione è quella e non quell'altra: non è di certo colpa mia!
"Se l'imperatore va in giro nudo, non è colpa del bambino che dice la verità!"
Ok. Fortunatamente ho trovato un'altro esercizio molto simile che mi ha permesso di rivedere questo (che poi era quello che chiedevo, avere la soluzione per poterci ragionare sopra).
Punto a)
\((1,1,0,1),(1,0,1,0),(0,1,-1,1)\) Un'insieme di vettori generatore di \( W \).
\( (1,1,0,1),(1,0,1,0) = (x^3+x^2+1, x^3 + x)\) Base di \( \displaystyle W \). \(Dim( W \)) = 2
Punto b)
Dimensione spazio vettoriale \( \displaystyle\mathbb{R}^3(x) \) = 4
Completamento \( \displaystyle W \) a \( \displaystyle\mathbb{R}^3(x) \) (credo sia quello che viene chiesto nel punto b), anche se resta ambiguo):
Completo la Base di \( \displaystyle W \) con {(0,0,1,0), (0,0,0,1)}.
Punto a)
\((1,1,0,1),(1,0,1,0),(0,1,-1,1)\) Un'insieme di vettori generatore di \( W \).
\( (1,1,0,1),(1,0,1,0) = (x^3+x^2+1, x^3 + x)\) Base di \( \displaystyle W \). \(Dim( W \)) = 2
Punto b)
Dimensione spazio vettoriale \( \displaystyle\mathbb{R}^3(x) \) = 4
Completamento \( \displaystyle W \) a \( \displaystyle\mathbb{R}^3(x) \) (credo sia quello che viene chiesto nel punto b), anche se resta ambiguo):
Completo la Base di \( \displaystyle W \) con {(0,0,1,0), (0,0,0,1)}.
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