Esercizio - Spazio normale

[Seneca1]

Esercizio. Dimostrare che un sottospazio di uno spazio regolare è regolare.

Uno spazio è regolare se è $T_2$ e $T_3$. Sia $Y \subset X$; per dimostrare entrambe le proprietà di separazione per il sottospazio $Y$ mi sembra sufficiente considerare gli aperti disgiunti in $X$ che realizzano la separazione punto/punto ($T_2$) o punto/chiuso ($T_3$), con punti e chiuso $\subset Y$, e intersecarli con $Y$. Gli aperti (stavolta in $Y$) così ottenuti verificano la proprietà $T_1$ o $T_2$ per $Y$.

Tanto per essere chiari, considero $T_3$: sia $X$ uno spazio con la proprietà $T_3$ e $Y \subset X$. Siano $y \in Y$ e $K \subset Y$ un chiuso (in $Y$). $K$ è chiuso anche in $X$, allora esistono $U,V$ intorni aperti in $X$ di $x , K$ rispettivamente tali che $U \cap V = \emptyset$.
$U \cap Y$ e $V \cap Y$ sono intorni aperti (stavolta in $Y$) di $x, K$ tali che $(U \cap Y) \cap (V \cap Y) = \emptyset$. Allora $Y$ con la topologia sottospazio è $T_3$.

Mi appare ragionevole, ma un po' troppo semplice... è corretto?

[mistake89]

Sì, a me sembra che tutto funzioni.

[Seneca1]

Grazie mistake.

[perplesso1]

"Seneca": $K \subset Y$ un chiuso (in $Y$). $K$ è chiuso anche in $X$

Mi sembra falso. Per esempio $[1,2)$ è chiuso in $(0,2)$ ma non è chiuso in $RR$.

[Seneca1]

Uh, vero! Faccio una piccola correzione.

Siano $x \in Y$ e $K \subset Y$ chiuso in $Y$. Allora $K = H \cap Y$ dove $H$ è un chiuso in $X$ che non contiene $x$. Allora, poiché $X$ è $T_3$, esistono intorni aperti $U,V$ in $X$ di $x$ e $H$ rispettivamente tali che $U \cap V = \emptyset$.
$V \cap Y$ è un intorno aperto in $Y$ di $H \cap Y = K$ e $U \cap Y$ è un intorno aperto in $Y$ di $x$. Quindi $Y$ è $T_3$.

Grazie.

[perplesso1]

Adesso va bene.