Esercizio spazio metrico

[jJjjJ1]

Secondo voi va bene come ho svolto questo esercizio?

Sia $(X, d)$ uno spazio metrico e sia $C$ un sottoinsieme compatto di $X$. Sia $U$ un aperto di $X$ tale che $C \subset U$. Provare che esiste $r>0$ tale che $\{ x \in X | d(x, C) < r \} \subset U$

Ho fatto così:

Supponiamo per assurdo che $\forall r > 0$ si abbia $\{ x \in X | d(x, C) < r \}$ non contenuto in $U$, allora esiste $x_r \in X$ tale che $d(x_r, C) < r$ e $ x_r \not \in U$. Consideriamo allora $\forall n \in N \ x_n \in X$ tale che $ x_n \not \in U$ e $ d( x_n, C) < 1/n$. Allora $\forall n \in N $ esiste $ y_n \in C$ tale che $d( x_n, y_n) < 1/n$ Poiché $C$ è compatto, sarà compatto per successioni, dunque esiste $( y_{n_k} )$ sottosuccessione convergente a $y \in C$. Osservo inoltre che $C \in U$ implica che esiste $ r > 0 $ tale che $ B( y, r ) \subset U$. Per la convergenza della sottosuccessione esiste allora $k_0 \in N$ tale che $ y_{n_k} \in B( y, r/2) $ per ogni $k > k_0$

Dunque si ha che:

$d( x_{n_k}, y ) <= d( x_{n_k}, y_{n_k} ) + d( y_{n_k}, y ) < 1 / n_k + r / 2$

Scegliamo $k \in N$ tale che $ k > k_0$ e $ n_k >= 2/r$ e si ha che $ d( x_{n_k}, y ) < r$ il che implica $ x_{n_k} \in U$ assurdo per costruzione, dunque esiste $r>0$ tale che $\{ x \in X | d(x, C) < r \} \subset U$

[Rigel1]

Mi sembra ok.